Learning Objectives
- 說出常態分布的形狀，用 68-95-99.7 規則估計落在平均數附近的比例
- 分辨母體、樣本與抽樣分布，用程式模擬重複抽樣
- 說出樣本平均數的標準差（標準誤）約等於 σ/√n，樣本變成 4 倍時標準誤減半
- 說出中央極限定理的內容與前提，以及它「沒有」保證什麼
手上只有一份樣本，怎麼談母體？
前一課描述的是「手上這一份資料」。但分析常常想回答更大的問題：全校學生平均每週讀幾小時？手上只有 200 人的問卷， 另外抽 200 人，算出來的平均數一定不完全一樣。樣本平均數會隨著抽到誰而變動。
這一課回答：
- 常見的常態分布長什麼樣子；
- 如果一直重複抽樣，樣本平均數會怎麼分布（抽樣分布）、變動有多大（標準誤）；
- 為什麼不管母體長什麼樣子，樣本平均數的分布常常接近常態（中央極限定理）。
這是後面三課（信賴區間、假設檢定、ANOVA）的基礎。範例用的 students.csv 是程式產生的模擬資料，不是任何學校的真實資料；其他的數字都是用固定種子的亂數模擬出來的。
常態分布與 68-95-99.7 規則
常態分布（normal distribution）是左右對稱的鐘形分布，由兩個數決定：平均數 μ（中心）與標準差 σ（寬度）。 不管 μ、σ 是多少，落在平均數附近的比例都相同：
| 範圍 | 大約的比例 |
|---|---|
| μ ± 1σ | 68% |
| μ ± 2σ | 95% |
| μ ± 3σ | 99.7% |
例如平均 170 公分、標準差 6 公分的常態分布，約 95% 落在 158～182 公分之間。
很多量大致接近常態（測量誤差、同一性別的身高），但也有很多不是：收入、通勤時間、讀書時數常常右偏，第 15 課的讀書時數就是一例。 不要因為常態分布很常見，就假設每一份資料都是常態。
逐步看：產生常態分布的亂數，檢查 68-95-99.7
用固定種子產生 10000 個常態亂數，數一數落在 1、2、3 個標準差以內的比例，再和理論值比較。
母體、樣本與抽樣分布
| 名詞 | 意思 | 這一課的例子 |
|---|---|---|
| 母體（population） | 想了解的全體 | 把 students.csv 的 200 人當成母體（示範用） |
| 樣本（sample） | 實際抽到、量到的一部分 | 從中隨機抽 n 個人 |
| 抽樣分布（sampling distribution） | 重複抽很多次，樣本平均數的分布 | 抽 1000 次，得到 1000 個樣本平均數 |
抽樣分布有兩個重要的性質：
- 它的中心在母體平均數 μ 附近（樣本平均數不會系統性地偏高或偏低）。
- 它的標準差叫標準誤（standard error），約等於 σ/√n。樣本越大越窄：n 變成 4 倍，標準誤只剩一半。
下面的範例把 200 人的通勤時間當成母體，用 rng.choice 一次抽出 1000 組樣本（取後放回），驗證這兩個性質。
逐步看：抽 1000 次樣本，樣本平均數的標準差
注意第 11 行：size=(1000, n) 一次抽出 1000 列、每列 n 個，不需要寫 1000 圈的迴圈。
中央極限定理
中央極限定理（central limit theorem）：從同一個母體獨立抽樣，只要母體的變異數是有限的，當樣本數 n 夠大時， 樣本平均數的抽樣分布會接近常態分布 N(μ, σ/√n)，不論母體本身是什麼形狀。
要注意三件事：
- 變成常態的是樣本平均數的分布，不是資料本身。通勤時間的母體還是雙峰，抽再多人也不會變成鐘形。
- 「n 夠大」沒有固定的數字。母體越接近常態，n 小也夠；母體越偏斜，需要的 n 越大。常聽到的「n ≥ 30」只是經驗法則，不是保證。
- 前提是樣本獨立、來自同一個母體。只抽同一班、同一宿舍的人，不符合前提（第 22 課談抽樣偏誤）。
這個定理是第 18、19 課信賴區間與 t 檢定的基礎：我們不知道母體的形狀，仍然可以談樣本平均數的不確定性。
逐步看：雙峰的母體，樣本平均數卻越來越像常態
三張圖並排：母體、n = 2 的樣本平均數、n = 30 的樣本平均數。三張圖的 x 軸範圍相同，可以直接比較寬窄。
實作：用模擬驗證 σ/√n
把 students.csv 200 人的每週讀書時數（study_hours）當成母體，sigma 用 numpy 的 std()（ddof=0）。
對 n = 4、16、64，各用 rng.choice(pop, size=(2000, n)) 抽 2000 組樣本，算出樣本平均數的標準差（std()，ddof=0）。
每個 n 印一行：n、模擬的標準差（小數 2 位）、σ/√n（小數 2 位）。亂數產生器已經建好，不要更動種子，也不要多抽，結果才會和預期一致。
小測驗：常態分布與標準誤
某次測驗成績大致是常態分布，平均 70 分、標準差 8 分。大約多少比例的人落在 54～86 分之間？
下面程式會印出什麼？
import numpy as np
x = np.array([2, 4, 6, 8])
print(x.std(), round(x.std(ddof=1), 3))
母體標準差 σ = 20。樣本數 n = 100 時，樣本平均數的標準誤大約是多少？
小測驗：中央極限定理
中央極限定理說，n 夠大時，什麼會接近常態分布？
下列關於中央極限定理的說法，哪一個是錯的？
重點整理
- 常態分布由 μ 與 σ 決定，約 68%、95%、99.7% 落在 μ ± 1σ、2σ、3σ 以內；很多資料不是常態，不要直接假設。
- 母體是想了解的全體，樣本是抽到的一部分；樣本平均數會隨抽到誰而變動。
- 重複抽樣得到的樣本平均數的分布叫抽樣分布，中心在 μ 附近，標準差（標準誤）約為 σ/√n：n 變成 4 倍，標準誤減半。
- 中央極限定理：樣本獨立、母體變異數有限時，n 夠大，樣本平均數的抽樣分布接近常態，不論母體形狀；資料本身的形狀不會改變，「n ≥ 30」只是經驗法則。
- 用
rng.choice(pop, size=(次數, n)).mean(axis=1)可以一次模擬很多組樣本平均數。 - 下一課用抽樣分布做出信賴區間：從一份樣本推估母體平均數，並說清楚「95%」到底是什麼意思。