Learning Objectives
- 說出標準誤（SE）與標準差的差別，並用 s／√n 算出平均數的標準誤
- 用 t 分布算出平均數的 95% 信賴區間，並正確說明「95%」指的是什麼
- 說出信心水準與樣本數如何影響區間的寬度
- 用 bootstrap 重抽樣算出平均數或中位數的信賴區間，並畫出各組平均的信賴區間圖
樣本平均有多可靠？
第 16 課看過：從同一個母體抽很多次樣本，每次算出的平均都不一樣，這些平均形成抽樣分布。 實際做分析時，你通常只有一個樣本，例如這 200 位學生的每週讀書時數平均是 9.93 小時。 問題是：如果換一批學生，平均可能差多少？
信賴區間用一個範圍來回答這個問題：與其只報「9.93 小時」，不如報「9.93 小時，95% 信賴區間 9.29～10.58 小時」。 區間越窄，估計越精確；區間很寬，就表示這筆資料還不足以把平均估準。
這一課的資料是 students.csv，是程式產生的模擬資料，不是任何學校的真實資料。
標準誤與 t 分布
標準差（s）描述的是「每個人之間差多少」；標準誤（standard error，SE）描述的是「樣本平均會差多少」：
SE ＝ s ÷ √n
人數越多，平均越穩定，所以 SE 隨 √n 變小。人數變成 4 倍，SE 才減半。
平均數的信賴區間是「平均 ± 臨界值 × SE」。母體的標準差不知道、只能用樣本的 s 代替時，臨界值要用 t 分布（自由度 n − 1）：
| 信心水準 | 臨界值（n 很大時） | 用 SciPy 算 |
|---|---|---|
| 90% | 約 1.645 | stats.t.ppf(0.95, df=n-1) |
| 95% | 約 1.96 | stats.t.ppf(0.975, df=n-1) |
| 99% | 約 2.576 | stats.t.ppf(0.995, df=n-1) |
ppf 是累積機率的反函數：t.ppf(0.975, df) 是「左邊面積 97.5%」的那個點，兩邊各留 2.5%，中間就是 95%。
n 小的時候 t 分布的尾巴比較厚，臨界值比 1.96 大，區間也比較寬。
逐步看：用公式算出 95% 信賴區間
每一步只算一個量：平均、標準差、標準誤、臨界值，最後組成區間。注意右邊記憶體區的數字怎麼一路變過來。
「95%」到底是什麼的 95%
這是信賴區間最常被說錯的地方。母體的真實平均是一個固定的數（只是你不知道），它不會跑來跑去； 會變的是區間：每抽一次樣本，就算出一個不同的區間。
正確：用這個方法重複抽樣、每次都算一個 95% 信賴區間，長期下來約 95% 的區間會涵蓋真值。
錯誤：「真值有 95% 的機率落在 9.29～10.58 之間。」算出來之後，這個區間要嘛涵蓋了真值、要嘛沒有。
所以 95% 是方法的成功率，不是某一個區間的成功率。下面的小工具把「重複抽樣」做給你看： 每一條橫線是一個樣本算出的區間，綠色直線是真值，沒有涵蓋到的區間畫成紅色。
這個「約 95%」有前提：樣本是隨機抽的，而且平均數的抽樣分布接近常態。母體很偏、樣本又小時，t 區間的實際涵蓋率可能低於名目的 95%，小工具的最後一個任務會讓你看到。
bootstrap：用電腦重抽樣
公式法需要知道統計量的標準誤公式。平均數有現成公式，中位數、兩個中位數的差、相關係數就麻煩得多。 bootstrap（Efron, 1979）的想法是：把手上的樣本當成母體的縮影，用電腦從樣本裡抽後放回，抽出和原樣本一樣多的人， 重複幾千次，每次都算一次統計量，看這些統計量散布多廣。
- 從 n 筆資料中抽後放回抽 n 筆（同一筆可能被抽到好幾次，有些一次都沒抽到）。
- 算這個重抽樣本的統計量（平均、中位數…）。
- 重複 2000 次，取這 2000 個值的第 2.5 與第 97.5 百分位數，當成 95% 區間（百分位數法）。
bootstrap 不是萬靈丹：它仍然假設樣本能代表母體，樣本很小時區間也不可靠。
逐步看：2000 次重抽的平均與中位數
2000 次重抽不用迴圈：一次產生 2000×200 個隨機位置，用陣列一次取值。注意 boot 的形狀。
各組平均的信賴區間
比較各組時，只畫平均的長條圖，看不出哪些差別可能只是抽樣的變動。在每個平均旁畫出信賴區間（誤差線，error bar）會誠實得多：
人數少的組，區間比較寬。pandas 的 sem() 直接算出標準誤（同樣除以 n − 1）。
讀這種圖要小心：兩組的區間沒有重疊，差別通常是顯著的；但有重疊不代表差別不顯著，要比較兩組，請用第 19 課的檢定。 圖上也要寫清楚誤差線是什麼（信賴區間、標準誤還是標準差），三者的長度差很多。
逐步看：各系讀書時數的信賴區間圖
實作：睡眠時數平均的 95% 信賴區間
讀入 students.csv，用 t 分布算出每晚睡眠時數（sleep_hours）平均的 95% 信賴區間。
平均、下限、上限都四捨五入到小數 2 位，印成兩行：
平均: ...
95% CI: 下限 上限
小測驗：信賴區間
算出某個平均的 95% 信賴區間是 6.36～6.59。下面哪一個說法正確？
其他條件不變，樣本人數從 50 人增加到 200 人（4 倍），平均數信賴區間的寬度大約會？
同一份資料，99% 信賴區間和 95% 信賴區間比起來？
bootstrap 每一次重抽是怎麼抽的？
下面程式會印出什麼？
import numpy as np
x = np.array([4, 6, 8, 10, 12])
se = x.std(ddof=1) / np.sqrt(len(x))
print(round(se, 3))
重點整理
- 標準誤 SE＝s ÷ √n，描述樣本平均的不確定程度；人數變 4 倍，SE 才減半。
- 平均數的信賴區間＝平均 ± t 臨界值 × SE；
stats.t.ppf(0.975, df=n-1)或stats.t.interval(0.95, df, loc, scale)。 - 95% 的意思：重複抽樣時約 95% 的區間會涵蓋真值；不是「真值有 95% 的機率在這個區間裡」。
- 信心水準越高、區間越寬；樣本越多、區間越窄。母體很偏且樣本小時，實際涵蓋率可能低於名目值。
- bootstrap：從樣本抽後放回、重複幾千次，取百分位數；可以用在中位數這類沒有簡單公式的統計量。
- 比較各組時畫出誤差線，並寫清楚它代表什麼。
- 下一課：兩組的平均差，是真的不同，還是抽樣的變動？用假設檢定回答。
延伸閱讀：Efron, B. (1979). Bootstrap methods: Another look at the jackknife. The Annals of Statistics, 7(1), 1–26。