Learning Objectives
- 說出比較三組以上時，為什麼不直接兩兩做 t 檢定
- 用組間變異與組內變異解釋 F 值，並用 scipy.stats.f_oneway 做單因子 ANOVA
- ANOVA 顯著之後，用 Tukey HSD 事後比較找出是哪幾組不同
- 在資料是順序尺度、很偏或有極端值時，改用 Mann-Whitney 或 Kruskal-Wallis 這類以名次為基礎的檢定
三種教學方式，哪一種比較好？
上一課比較了 A、B 兩種教學方式。teaching_trial.csv 其實有三種：A、B、C 各 60 人（模擬資料，不是任何學校的真實實驗）。
直覺的做法是兩兩比較：A 對 B、A 對 C、B 對 C，做三次 t 檢定。
問題在上一課的多重比較：每次檢定都有 5% 的假陽性機會，做三次，「至少一次假陽性」的機率就超過 5%（三個檢定互相獨立時約 1 − 0.95³ ≈ 14%）； 組數越多，兩兩比較的次數增加得越快（5 組就要比 10 次）。
單因子變異數分析（one-way ANOVA）先用一個檢定回答：「這幾組的母體平均是不是全部相同？」 如果答案是「不全相同」，再用事後比較找出是哪幾組不同，事後比較本身會控制多重比較的錯誤率。
F 值：組間差異和組內差異的比
ANOVA 把每個人和全體平均的差距拆成兩部分：
| 部分 | 意思 | 平方和 |
|---|---|---|
| 組間（between） | 各組平均離全體平均多遠 | 每組「人數 × (組平均 − 全體平均)²」加總 |
| 組內（within） | 每個人離自己那一組的平均多遠 | 每個人「(值 − 組平均)²」加總 |
各自除以自由度得到均方（MS），兩者相除就是 F：
F ＝ 組間均方 ÷ 組內均方 （組間自由度＝組數 − 1，組內自由度＝總人數 − 組數）
- 組平均差得越多 → 組間變大 → F 變大。
- 組內每個人差異越大 → 組內變大 → F 變小：同樣的平均差，被個人差異「淹沒」了。
- 虛無假設（各組母體平均都相同）為真時，F 通常在 1 附近；F 越大，p 值越小。
- η²（eta 平方）＝組間平方和 ÷ 總平方和：分數的變異有多少比例和分組有關，是 ANOVA 常用的效果量。
ANOVA 的前提：各組獨立、組內大致常態、各組變異數差不多。各組人數夠多時，對常態的要求比較寬鬆。
逐步看：f_oneway 與自己算 F
先用 SciPy 一行算出 F 與 p，再用 groupby 把組間與組內的平方和自己算一次，確認兩者一樣。
事後比較：Tukey HSD
ANOVA 顯著只說「不全相同」。要知道哪幾組不同，常用 Tukey HSD（honestly significant difference，Tukey, 1949）：
它同時比較每一對組，並把「整組比較的型一錯誤率」控制在 α，所以比直接做三次 t 檢定保守。
SciPy 的 stats.tukey_hsd(a, b, c) 回傳的結果可以直接印出：每一列是一對組的平均差、p 值與信賴區間；各組人數不同時，它用的是 Tukey-Kramer 的做法。
讀表時注意：組的編號依你傳入的順序（0、1、2），(0 - 1) 是「第 0 組減第 1 組」，每一對會正反各出現一次。
逐步看：哪兩組的差異達顯著
不靠平均：以名次為基礎的無母數檢定
t 檢定與 ANOVA 比的是平均，也需要大致常態的前提。有些資料不適合：
- 順序尺度：滿意度 1～5 分，「5 分和 4 分的差距」不一定等於「2 分和 1 分的差距」，算平均有爭議。
- 很偏或有極端值：幾個極端值就能把平均拉走。
無母數檢定把所有資料一起排序、換成名次，再比較各組的名次：
| 情況 | 平均（有母數） | 名次（無母數） |
|---|---|---|
| 兩組獨立 | ttest_ind |
mannwhitneyu（Mann-Whitney U） |
| 三組以上 | f_oneway |
kruskal（Kruskal-Wallis H） |
它們檢定的是「各組的分布是否相同」；各組分布形狀相似時，可以解讀成中位數的差異。名次對極端值不敏感，但也丟掉了「差多少」的資訊， 資料符合 t 檢定的前提時，t 檢定通常比較有檢定力。
SciPy 的預設：mannwhitneyu 是雙尾（alternative='two-sided'），method='auto' 在其中一組 8 筆以下且沒有同分時用精確分布，
否則用常態近似（含同分校正與連續性校正）；kruskal 用卡方分布近似並做同分校正。滿意度這種資料同分很多，所以會用常態近似。
逐步看：三種教學方式的滿意度
實作：三門課的期末成績
讀入 grades.csv，取出「微積分」「統計學」「英文」三門課的期末成績（final），分別做 ANOVA（f_oneway）與 Kruskal-Wallis（kruskal）。
統計量四捨五入到小數 2 位，p 值用科學記號寫到小數 1 位（f"{p:.1e}"），印成兩行：
F: ... p: ...
H: ... p: ...
小測驗：ANOVA 與無母數檢定
比較 4 組時，為什麼不直接兩兩做 t 檢定？
其他條件不變，只把每一組裡面每個人的差異放大（組平均不變），F 值會？
ANOVA 得到 F＝3.36、p＝0.037，Tukey 事後比較只有 A 對 B 的 p＝0.034，其他兩對 p 都大於 0.05。下面哪一個說法最恰當？
下面哪一種情況，最適合改用 Kruskal-Wallis 而不是 ANOVA？
下面程式會印出什麼？
from scipy import stats
res = stats.f_oneway([1, 2, 3], [4, 5, 6], [7, 8, 9])
print(round(res.statistic, 1))
重點整理
- 三組以上不要直接兩兩做 t 檢定：假陽性會累積。先做單因子 ANOVA（
stats.f_oneway）。 - F＝組間均方 ÷ 組內均方：組平均差越多、組內差異越小，F 越大。η² 是組間平方和占總平方和的比例。
- ANOVA 顯著只表示「不全相同」；用 Tukey HSD（
stats.tukey_hsd）找出哪幾對不同。未達顯著不等於相同。 - 順序尺度、很偏或有極端值：用名次為基礎的檢定，兩組
mannwhitneyu、三組以上kruskal。 - 報告結果時，除了 p 值，也要寫各組的平均（或中位數）、效果量與信賴區間。
- 下一課處理類別對類別（卡方檢定）與數值預測數值（簡單線性迴歸）。
參考資料：Tukey, J. W. (1949). Comparing individual means in the analysis of variance. Biometrics, 5(2), 99–114。