Learning Objectives
- 認得六種基本邏輯閘的符號與真值表
- 把一個布林式接成電路，用真值表確認接對了
- 只用 NAND 做出 NOT、AND、OR，說明它為什麼叫通用閘
- 說明晶片為什麼常用 NAND 而不是 AND
布林式怎麼變成真的東西
上一課的 Y = A AND B 是紙上的數學。把它做成實體，只需要一種元件：開關。電晶體就是用電壓控制的開關，兩個開關串聯，兩個都導通電流才過得去，這就是 AND。
晶片設計師不會每次都從電晶體想起，而是用包裝好的單元，叫做邏輯閘（logic gate）：
| 符號名稱 | 布林式 | 輸出是 1 的時候 |
|---|---|---|
| NOT | Y = A′ | A 是 0 |
| AND | Y = A·B | 兩個都是 1 |
| OR | Y = A + B | 至少一個是 1 |
| NAND | Y = (A·B)′ | 不是兩個都 1 |
| NOR | Y = (A + B)′ | 兩個都是 0 |
| XOR | Y = A ⊕ B | 兩個不一樣 |
符號上的小圓圈代表「反相」，所以 NAND 的符號就是 AND 加一個圓圈。
這條軌道的模擬器。 電路圖不是畫好看的：每條線的值都是模擬器算出來的，綠色是 1、灰色是 0、紅色是未知（x）。輸入腳沒接線時值就是未知，真實晶片的空接腳也一樣不可靠，所以模擬器不會幫你當成 0。模擬是簡化的：每個閘的延遲都是整數個單位，沒有電壓、電流與散熱。
從布林式接出電路
接電路的順序和算式的順序一樣：括號裡的先算。例如 Y = (A·B) + C′：
- A、B 接到一個 AND
- C 接到一個 NOT
- 兩個結果接到一個 OR，輸出接到燈
接線的方式：按一個元件的輸出腳（右邊），再按另一個元件的輸入腳（左邊）。手機上比較難點的話，用下方的選單一樣可以接；電路圖太寬時可以左右滑動。一個輸出可以接到很多地方，但一個輸入只能接一條線：兩條線同時推同一個點，真實電路會短路，模擬器也不允許。
只要一種閘就夠了
做晶片時，閘的種類越少，製程與設計工具越單純。令人意外的是，只要 NAND 一種就能做出任何邏輯。這種閘叫通用閘（universal gate）。
NOT 最簡單：把 NAND 的兩個輸入接在一起，(A·A)′ = A′。
有了 NOT，AND 就是 NAND 後面再反相一次：((A·B)′)′ = A·B。
OR 用上一課的笛摩根定律：A + B = (A′·B′)′，也就是把兩個輸入各自反相，再接一個 NAND。
NOR 也是通用閘，道理相同。
為什麼真實晶片愛用 NAND？在常見的 CMOS 製程裡，NAND 只要 4 顆電晶體；AND 要在 NAND 後面再接一個反相器，共 6 顆。所以 AND 其實比 NAND「多做一步」，又慢又佔面積，雖然它讀起來比較直覺。
用程式驗證笛摩根定律
窮舉所有輸入是驗證小電路最可靠的方法。下面用 Python 定義 nand，再用它組出 NOT、AND、OR，和 Python 內建的運算比對。
確認一下
NAND 的兩個輸入都接到 A，輸出是什麼？
一個 AND 閘的 A 接到開關，B 沒有接線。把 A 設成 0，輸出是？
下面哪一個式子和 (A + B)′ 相同？
為什麼不能把兩個輸出接到同一個輸入？
用 NAND 做 OR 要 3 個閘，直接用 OR 閘只要 1 個。晶片設計工具為什麼還常常用 NAND 組？
重點整理
- 邏輯閘是電晶體開關的包裝，每種閘對應一個布林運算。
- 接電路的順序和算式相同；一個輸出可以分給很多輸入，一個輸入只能接一條線。
- 沒接線的輸入是未知的，不要假設它是 0。
- NAND 是通用閘，NOT、AND、OR 都能用它做出來。CMOS 裡 NAND 也比 AND 便宜。
閘的數量直接影響成本與速度。下一課學一個化簡的方法：同樣的功能，用更少的閘。