Learning Objectives
- 用函數產生器送訊號、示波器同時量輸入與輸出，算出增益與相位
- 把增益換成分貝，讀懂波德圖的兩張圖
- 用對數刻度的頻率掃描量出 RC 低通濾波器的頻率響應
- 找出截止頻率，和理論值 1 ÷（2πRC）比較
濾波器對不同頻率的反應
上一課掃描的是電壓；這一課掃描的是頻率。受測電路換成一個 RC 低通濾波器（1 kΩ 電阻＋100 nF 電容）： 低頻訊號幾乎原封不動通過，高頻訊號被削弱。音響的等化器、感測器訊號的雜訊濾除，都用到這種電路。
量法是固定振幅、一個頻率一個頻率改：
函數產生器（正弦波）──┬── 示波器 CH1（輸入）
└── RC 濾波器 ── 示波器 CH2（輸出）
每個頻率量兩個數字：
| 量 | 意思 | 怎麼算 |
|---|---|---|
| 增益（gain） | 輸出是輸入的幾倍 | 輸出峰對峰值 ÷ 輸入峰對峰值；常換成分貝：20 × log₁₀(增益) |
| 相位（phase） | 輸出比輸入落後多少 | 示波器的 :MEAS:PHAS? CHAN1,CHAN2，單位是度 |
把增益與相位對頻率畫成兩張圖，橫軸用對數刻度，就是波德圖（Bode plot），以 1930 年代在貝爾實驗室工作的 Hendrik Wade Bode 命名。
本課的示波器與函數產生器是模擬的教學儀器，
:MEAS:PHAS?等指令的寫法依廠牌不同，以該儀器的程式設計手冊為準。
逐步看：量一個頻率的增益與相位
看示波器畫面：CH1 是輸入、CH2 是輸出。1 kHz 時輸出比輸入小一點，而且往右偏（時間上落後）。
通訊紀錄裡，APPL:SIN 一個指令就設好波形、頻率、振幅並打開輸出。
為什麼用分貝與對數刻度
濾波器在高頻的增益可能從 1 一路降到 0.001。用倍數畫，0.1 以下的點全擠在橫軸上；用分貝（dB）就清楚了：
| 增益（倍數） | 分貝 | 常見說法 |
|---|---|---|
| 1 | 0 dB | 原封不動 |
| 0.707（1 ÷ √2） | 約 −3 dB | 功率剩一半：截止頻率的定義 |
| 0.5 | 約 −6 dB | 振幅剩一半 |
| 0.1 | −20 dB | 剩十分之一 |
| 0.01 | −40 dB | 剩百分之一 |
頻率也一樣：100 Hz、1 kHz、10 kHz、100 kHz 在對數刻度上距離相等（每一格叫一個十倍頻，decade）。 所以掃描點通常不是等間隔，而是每個十倍頻取幾點，例如 100、200、500、1000、2000、5000…。
一階 RC 低通濾波器的理論行為：
- 截止頻率 fc ＝ 1 ÷（2π × R × C）。本課 1 kΩ、100 nF：fc ≈ 1592 Hz。
- 在 fc：增益 −3 dB、相位 −45°。
- 遠低於 fc：增益約 0 dB、相位約 0°；遠高於 fc：頻率每增加十倍，增益再降 20 dB，相位趨近 −90°。
逐步看：頻率掃描
和上一課的電壓掃描一樣是「設定、量測、記錄」，只是設定的是頻率。注意兩件事： 每換一個頻率，程式也把示波器的時基（每格多少秒）跟著改，畫面才看得到完整的週期；上方長條圖的增益隨頻率升高而變小。
逐步看：用二分搜尋找截止頻率
掃描六個點只知道截止頻率在 1000 和 3000 Hz 之間。要更準，可以讓程式自己找： 截止頻率的相位是 −45°，所以每次量範圍「中點」的相位，落後不到 45° 就往高頻找，否則往低頻找。 對數刻度上的中點是幾何平均 √(lo × hi)。看變數 lo 與 hi 怎麼一步一步靠近。
小測驗：增益、分貝與相位
下面的程式會印出什麼？
import math
v_in, v_out = 2.0, 0.2
print(round(20 * math.log10(v_out / v_in)))
R ＝ 1 kΩ、C ＝ 100 nF 的 RC 低通濾波器，在截止頻率量到的增益與相位大約是？
下面的程式會印出什麼？
import math
freqs = [round(100 * 10 ** (k / 2)) for k in range(5)]
print(freqs)
小測驗：量測的細節
為什麼增益要用「CH2 ÷ CH1」，而不是「CH2 ÷ 函數產生器設定的 2 Vpp」？
掃描 10 Hz～100 kHz，哪一組掃描點比較合適？
重點整理
- 頻率響應：函數產生器送正弦波，示波器 CH1 量輸入、CH2 量輸出；增益＝CH2 ÷ CH1，相位用
:MEAS:PHAS?。 - 分貝＝20 × log₁₀(增益)；−3 dB 是振幅 0.707 倍，−20 dB 是十分之一。
- 波德圖的橫軸是對數刻度，掃描點每個十倍頻取幾點；換頻率時時基也要跟著改。
- RC 低通濾波器：截止頻率 1 ÷（2πRC），在那裡增益 −3 dB、相位 −45°；高頻每十倍頻降 20 dB。
- 用二分搜尋（對數刻度用幾何平均當中點）可以讓程式自己逼近截止頻率。
下一課處理量到的資料：寫成 CSV、做統計、用正確的有效位數報告結果。