Learning Objectives
- 判斷一個對應是否為函數，並寫出定義域與值域
- 說明 y = a f(b(x-c)) + d 四個參數對圖形的作用
- 解釋 x-c 使圖形向右平移的原因
- 從代數與圖形判斷奇函數、偶函數
- 計算合成函數，並說明合成順序不能交換的原因
函數的定義
校內影印店每張收費 2 元，印 $n$ 張需付 $f(n) = 2n$ 元。相同的張數必定對應相同的金額。這種「每個輸入恰好對應一個輸出」的規則稱為函數（function）。
相對地，「姓名對應學號」不一定是函數：同名同姓的兩位同學會使同一個輸入對應兩個學號。
描述函數時須說明兩個範圍：
- 定義域（domain）：可以輸入哪些數
- 值域（range）：實際輸出得到哪些數
在影印店的例子中，定義域是 $0, 1, 2, \dots$，值域是 $0, 2, 4, \dots$，因為不能印 1.5 張。數學上常見的函數若未特別說明，定義域是「代入後能算出實數」的所有 $x$：
| 函數 | 定義域 | 值域 | 限制的來源 |
|---|---|---|---|
| $x^2$ | 全部實數 | $y \ge 0$ | 平方不會是負的 |
| $\sqrt{x}$ | $x \ge 0$ | $y \ge 0$ | 負數開不了平方根 |
| $\frac{1}{x}$ | $x \neq 0$ | $y \neq 0$ | 分母不能是 0 |
| $\sin x$ | 全部實數 | $-1 \le y \le 1$ | 單位圓上的高度 |
本課程大部分內容都與函數的圖形有關。以下練習觀察同一個函數在四個係數改變時圖形的變化。
水平平移的方向
$a$ 和 $d$ 改變輸出：$a$ 把高度乘上 $a$ 倍，$d$ 把高度加上 $d$。$b$ 和 $c$ 改變輸入，方向看似相反：$c = 2$ 使圖形向右移，$b = 2$ 使圖形變窄。
設 $g(x) = f(x-2)$。若要 $g$ 取得 $f$ 原本在 $x = 0$ 的高度，括號內必須等於 0，所以 $x$ 必須是 2：
$$g(2) = f(2-2) = f(0)$$
原本對應 0 的函數值，現在要到 $x = 2$ 才出現，所以圖形向右移 2。$b$ 的道理相同：設 $h(x) = f(2x)$，則 $h(1) = f(2)$，原本在 2 才有的高度，現在在 1 就出現，所以橫向壓縮為一半。
| 參數 | 算式 | 圖形的變化 |
|---|---|---|
| $a$ | $a f(x)$ | 縱向伸縮 $\lvert a \rvert$ 倍；$a \lt 0$ 時對 $x$ 軸翻轉 |
| $b$ | $f(bx)$ | 橫向變成 $\frac{1}{\lvert b \rvert}$ 倍；$b \lt 0$ 時對 $y$ 軸翻轉 |
| $c$ | $f(x-c)$ | 向右移 $c$（$c$ 為負時向左） |
| $d$ | $f(x)+d$ | 向上移 $d$ |
$b = 0$ 時 $f(0)$ 是常數，圖形變成一條水平線，不再是伸縮。
注意 $f(b(x-c))$ 裡 $b$ 乘在整個 $x-c$ 外面。題目若寫成 $f(2x-4)$，須先提出 2 化為 $f(2(x-2))$，才能看出是向右移 2，而不是 4。下一個練習討論這一點。
變換的順序
每個操作都是「把算式裡的每個 $x$ 換掉」，所以後執行的操作作用在前一步的結果上：
- 先移再壓：$f(x-2)$ 的 $x$ 換成 $2x$，得到 $f(2x-2)$，頂點在 $x = 1$
- 先壓再移：$f(2x)$ 的 $x$ 換成 $x-2$，得到 $f(2(x-2)) = f(2x-4)$，頂點在 $x = 2$
因此 $y = a f(b(x-c)) + d$ 這個寫法對應的順序是：橫向先伸縮，再平移，平移量才會恰為 $c$。縱向亦同：先乘 $a$ 再加 $d$，$d$ 才是直接的上移量。
奇函數與偶函數
有些函數的圖形具有對稱性，辨識後可以減少一半的計算：
- 偶函數（even function）：對定義域內所有 $x$，$f(-x) = f(x)$。圖形對 $y$ 軸對稱，例如 $x^2$、$\cos x$、$\lvert x \rvert$
- 奇函數（odd function）：對定義域內所有 $x$，$f(-x) = -f(x)$。圖形對原點對稱（轉半圈不變），例如 $x^3$、$\sin x$
「偶」「奇」來自 $x^n$ 的次方，但大部分函數兩者都不是，例如 $x^2 + x$。判斷時將 $-x$ 代入化簡；要否定時，舉一個反例即可。
合成函數
將一個函數的輸出作為另一個函數的輸入，稱為合成函數（composite function）：
$$(f \circ g)(x) = f(g(x))$$
先計算內層的 $g$，再將結果代入外層的 $f$。合成的順序通常不能交換，如同穿襪子再穿鞋與穿鞋再穿襪子結果不同。代數上亦然：$f(x) = x^2$、$g(x) = x+1$ 時，
$$f(g(x)) = (x+1)^2 = x^2+2x+1$$
$$g(f(x)) = x^2+1$$
只有 $x = 0$ 時兩者才相等。
合成也會改變定義域：$f(g(x))$ 的 $x$ 要在 $g$ 的定義域內，而且 $g(x)$ 要落在 $f$ 的定義域內。之後的連鎖律用於計算合成函數的導數，因此須能辨識一個函數由哪兩個函數合成：$\sin(x^2)$ 是外層 $\sin$、內層 $x^2$，$(\sin x)^2$ 則相反。
重點整理
- 函數：每個輸入恰好對應一個輸出；定義域是能輸入的數，值域是實際得到的輸出
- $y = a f(b(x-c)) + d$：$a$、$d$ 改變輸出（縱向），$b$、$c$ 改變輸入（橫向），橫向的方向看似相反
- 平移量須在提出 $b$ 之後才能讀出：$f(2x-4) = f(2(x-2))$ 是向右移 2
- 變換是「把 $x$ 換掉」，順序不同結果可能不同
- 偶函數 $f(-x) = f(x)$，奇函數 $f(-x) = -f(x)$；舉一個反例就能否定
- $f(g(x))$ 先算內層 $g$；順序一般不能交換，定義域也會受內外層影響
下一課介紹微積分最常用的幾個函數：指數、對數與三角函數，以及它們的反函數。
小測驗
$y = (2x-4)^2$ 的頂點在哪裡？
$y = e^{-x}$ 的圖形和 $y = e^x$ 是什麼關係？
$f(x) = x+1$、$g(x) = x^2$，$f(g(2))$ 和 $g(f(2))$ 分別是多少？
$f$ 是奇函數，而且在 $x = 0$ 有定義。$f(0)$ 一定是多少？
$f(x) = \sqrt{x}$、$g(x) = x-2$。$f(g(x))$ 的定義域是什麼？