指數、對數與三角函數

反函數的定義

氣象預報以攝氏表示溫度，美國則慣用華氏。公式 $F = \frac{9}{5}C + 32$ 由攝氏求華氏。已知華氏 86 度而要求攝氏時，須將公式反解為 $C = \frac{5}{9}(F-32)$，得到 30 度。這兩個函數互相抵銷，稱為反函數（inverse function）。

$f$ 的反函數寫成 $f^{-1}$，滿足：$f(a) = b$ 表示 $f^{-1}(b) = a$，亦即 $f^{-1}(f(x)) = x$。注意 $f^{-1}(x)$ 不是 $\frac{1}{f(x)}$，上標 $-1$ 在這裡不是次方。

若 $f$ 的圖形上有點 $(a, b)$，則 $f^{-1}$ 的圖形上有點 $(b, a)$。兩個座標交換，在幾何上等於對直線 $y = x$ 鏡射，所以兩條曲線對 $y = x$ 對稱。

定義域的限制與反函數

$f(x) = x^2$ 將 $2$ 和 $-2$ 都對應到 4，所以「4 的反函數值」無法確定。此時的做法是限制定義域：只取 $x \ge 0$ 這一半，函數成為一對一，反函數是 $\sqrt{x}$。$\sqrt{4}$ 只等於 2 也是這個原因：平方根是 $x \ge 0$ 這一半的反函數。

因此 $\sqrt{x^2}$ 不一定等於 $x$，正確的關係是 $\sqrt{x^2} = \lvert x \rvert$。

連續函數在一個區間上一對一，等價於它在這個區間上嚴格遞增或嚴格遞減。

指數函數與 e

指數函數 $a^x$（$a \gt 0$、$a \neq 1$）的定義域是全部實數，值域是 $y \gt 0$。它遵守指數律：

• $a^{x+y} = a^x a^y$
• $a^{x-y} = \frac{a^x}{a^y}$
• $(a^x)^y = a^{xy}$

微積分最常用的底數是 $e \approx 2.71828$，這個數可由複利得到。假設本金 1 元、年利率 100%：

• 一年結算一次：一年後 $(1+1)^1 = 2$ 元
• 半年結算一次：每次 50%，一年後 $(1+\frac{1}{2})^2 = 2.25$ 元
• 一年結算 $n$ 次：一年後 $\left(1+\frac{1}{n}\right)^n$ 元

結算越頻繁，本利和越多。其增長是否沒有上限，直覺上可能有兩種推測：底數靠近 1，所以結果靠近 1；或者次方越來越大，所以結果趨向無窮大。兩者皆不正確。一般認為這個問題是雅各布．白努利（Jacob Bernoulli）在十七世紀研究複利時提出的。

對數函數

由上面的表可知，數列遞增且不超過一個定值，此極限定義為 $e$：

$$e = \lim_{n \to \infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n$$

下一單元才會正式介紹極限，此處先以數值觀察。以 $e$ 為底的指數函數 $e^x$ 具有一個特別的性質，之後將會說明：它的導數等於它本身。

$a^x$ 是一對一的函數，所以有反函數，稱為對數（logarithm）$\log_a x$；以 $e$ 為底的對數寫成 $\ln x$，稱為自然對數。反函數的關係可寫成：

• 對所有實數 $x$：$\ln(e^x) = x$
• 對 $x \gt 0$：$e^{\ln x} = x$

定義域與值域也互換：$\ln x$ 的定義域是 $x \gt 0$，值域是全部實數。對數律來自指數律，以下 $a, b \gt 0$：

• $\ln(ab) = \ln a + \ln b$
• $\ln\frac{a}{b} = \ln a - \ln b$
• $\ln(a^r) = r \ln a$

$\ln(a+b)$ 沒有展開公式，將其拆開是最常見的錯誤。換底時使用 $\log_a x = \frac{\ln x}{\ln a}$。

弧度的定義

「度」是人為規定的單位：將一圈分成 360 份。微積分預設的角度單位是弧度（radian），它直接由長度定義：

$$\theta = \frac{\text{弧長}}{\text{半徑}}$$

亦即 $s = r\theta$。

半徑 1 的圓周長是 $2\pi$，所以 $360^\circ = 2\pi$ 弧度，$180^\circ = \pi$ 弧度。弧度是長度除以長度，沒有單位。

預設使用弧度的原因是，只有以弧度為單位，公式才沒有多餘的常數。之後會看到 $\frac{d}{dx}\sin x = \cos x$，這條公式只在 $x$ 是弧度時成立；若 $x$ 以度為單位，則多出 $\frac{\pi}{180}$ 的倍數。

在單位圓（半徑 1、圓心在原點）上，從正 $x$ 軸逆時針移動弧長 $\theta$，到達點 $(x, y)$，定義

$$\cos\theta = x, \quad \sin\theta = y$$

此定義對任何實數 $\theta$ 都有意義：負值代表順時針，超過 $2\pi$ 表示繞行超過一圈。

三角函數的基本性質

由單位圓可直接得到以下性質：

• 週期：$\sin(\theta+2\pi) = \sin\theta$，$\cos(\theta+2\pi) = \cos\theta$
• 恆等式：點 $(\cos\theta, \sin\theta)$ 在單位圓上，所以 $\sin^2\theta+\cos^2\theta = 1$
• 奇偶：$\sin(-\theta) = -\sin\theta$（奇），$\cos(-\theta) = \cos\theta$（偶）
• 正切：$\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}$，在 $\cos\theta = 0$ 的地方（$\frac{\pi}{2}$ 加 $\pi$ 的整數倍）沒有定義，週期是 $\pi$

三角函數是週期函數，水平線會與圖形相交於無限多點，所以必須限制定義域才有反函數。慣用的限制與反函數的值域如下：

$\arcsin x$ 也寫成 $\sin^{-1}x$，它不是 $\frac{1}{\sin x}$。因為它只回傳值域內的角，所以 $\arcsin(\sin\theta)$ 不一定等於 $\theta$。

重點整理

• $f^{-1}$ 把 $f$ 的輸入輸出對調，圖形對 $y = x$ 對稱；$f^{-1}(x)$ 不是 $\frac{1}{f(x)}$
• 一對一才有反函數；以水平線測試判斷，若不是一對一則限制定義域
• $e = \lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n \approx 2.71828$，來自連續複利
• $\ln x$ 是 $e^x$ 的反函數，定義域 $x \gt 0$；$\ln(ab) = \ln a+\ln b$，但 $\ln(a+b)$ 不能拆
• 弧度 $\theta = \frac{s}{r}$，微積分的公式預設用弧度
• $\sin$、$\cos$ 由單位圓定義；$\arcsin$、$\arctan$ 值域在 $-\frac{\pi}{2}$ 到 $\frac{\pi}{2}$，$\arccos$ 在 $0$ 到 $\pi$

下一課正式介紹微積分的第一個觀念：極限。本課的 $e$ 已用到「$n$ 越來越大時趨近於何值」這個想法。