均值定理、極值與凹凸

由導數判斷函數圖形

考慮 $f(x) = x^4 - 4x^3$：本課討論在不使用計算機的情況下，如何判斷其圖形、最低點與轉折的個數。

逐點描圖是一種方法，但無法確定轉折的確切位置。導數可以直接回答：$f'$ 的正負指出上升與下降的區間，$f''$ 的正負指出曲線彎曲的方向。

本課建立這套判斷方法，並說明幾個容易被省略的條件：$f'(c) = 0$ 不一定是極值，$f''(c) = 0$ 不一定是反曲點。

極值與臨界點

首先定義名詞。若 $c$ 在定義域內部（兩側都有函數值），而且 $f(c)$ 大於或等於 $c$ 附近所有的函數值，$c$ 稱為局部極大（local maximum）；小於或等於則稱為局部極小。若 $f(c)$ 是整個定義域裡最大或最小的值，則稱為絕對極大、絕對極小（即最大值、最小值）。

費馬定理（Fermat's theorem）：若 $f$ 在 $c$ 有局部極值，而且 $f'(c)$ 存在，則 $f'(c) = 0$。

理由可由差商說明。假設 $c$ 是局部極大，$h$ 很小時 $f(c+h) - f(c) \le 0$。所以 $h > 0$ 時差商 $\frac{f(c+h)-f(c)}{h} \le 0$，$h < 0$ 時差商 $\ge 0$。導數存在表示左右極限相同，一個 $\le 0$、一個 $\ge 0$，因此兩者都是 0。

此定理有兩點容易誤解：

• 逆敘述不成立。 $f(x) = x^3$ 在 0 的導數是 0，但 $x < 0$ 時 $f < 0$，$x > 0$ 時 $f > 0$，0 不是極值。
• 條件不能省略。 $f(x) = \lvert x \rvert$ 在 0 是極小，導數卻不存在，所以導數不存在的點也要檢查。

因此定義：$c$ 在定義域內，且 $f'(c) = 0$ 或 $f'(c)$ 不存在，稱為臨界點（critical point）。局部極值只可能出現在臨界點，但臨界點不一定是極值。

判斷的方法是一階判別：檢查 $f'$ 在 $c$ 兩側的正負（$f$ 在 $c$ 須連續）。由正變負為局部極大，由負變正為局部極小，兩側同號（都 $> 0$ 或都 $< 0$）則不是極值。

閉區間上的最大值與最小值

極值定理（extreme value theorem）：若 $f$ 在閉區間 $[a, b]$ 上連續，則必有最大值和最小值。兩個條件缺一不可：$\frac{1}{x}$ 在 $(0, 1]$ 不是閉區間，沒有最大值；不連續的函數也可能取不到最大值。

最大值、最小值若在區間內部，即為局部極值，必出現在臨界點；否則出現在端點。因此閉區間法分為三步：

1. 找出 $(a, b)$ 內所有臨界點
2. 計算臨界點與兩個端點的函數值
3. 比較大小，最大者為最大值，最小者為最小值

例如 $f(x) = x^3 - 3x$ 在 $[0, 3]$：$f' = 3x^2 - 3$，區間內的臨界點只有 $x = 1$（$x = -1$ 不在區間內）。$f(0) = 0$、$f(1) = -2$、$f(3) = 18$，最大值 18 出現在端點，最小值 $-2$ 出現在臨界點。此處未使用任何判別法，僅比較函數值。

均值定理

從甲地到乙地 2 小時行駛 120 公里，平均時速 60。直覺上，時速表必定在某個瞬間恰好指向 60：若始終低於 60，行駛距離不到 120 公里；若始終高於 60，行駛距離則會超過。

均值定理（mean value theorem）將此事實寫成定理。若 $f$ 滿足

1. 在閉區間 $[a, b]$ 連續
2. 在開區間 $(a, b)$ 可微分

則存在 $c$ 在 $(a, b)$ 內，使得

$$f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}$$

在圖形上，這表示必有某個點的切線與連接兩端的割線平行。定理只保證至少一個，不指出其位置，也可能不只一個。

缺少條件時，結論就可能不成立，以下練習有兩個反例：$\lvert x \rvert$ 在 $[-1, 1]$（0 不可微分）、$\frac{1}{x}$ 在 $[-1, 1]$（0 不連續）。

此定理的重要性。 它將「一點的導數」與「一段區間上的變化」相連。以下三個常用事實都由它推出：

• 在區間 $I$ 上 $f' > 0$ 則 $f$ 遞增：任取 $x_1 < x_2$，存在 $c$ 使 $f(x_2) - f(x_1) = f'(c)(x_2 - x_1) > 0$。
• 在區間 $I$ 上 $f' < 0$ 則 $f$ 遞減，推論相同。
• 在區間 $I$ 上 $f' = 0$ 則 $f$ 是常數。之後討論積分時，「兩個反導函數只差一個常數」即依據此事實。

「在區間上」不可省略。$\frac{1}{x}$ 的導數 $-\frac{1}{x^2}$ 處處為負，但 $-1 < 1$ 時 $\frac{1}{-1} < \frac{1}{1}$，它在整個定義域上不是遞減；其定義域被 0 分成兩段，不是一個區間，只能說在每一段上遞減。

二階判別法與凹凸

$f'$ 本身也有升降。$f'$ 遞增表示切線斜率遞增，曲線向上彎。因此：

• $f'' > 0$ 的區間，$f$ 上凹（concave up），切線在曲線下方
• $f'' < 0$ 的區間，$f$ 下凹（concave down），切線在曲線上方

由此得到另一個判斷極值的方法。二階判別：設 $f'(c) = 0$ 且 $f''(c)$ 存在。

• $f''(c) > 0$：$c$ 是局部極小（在谷底，曲線上凹）
• $f''(c) < 0$：$c$ 是局部極大
• $f''(c) = 0$：無法判斷

最後一條不表示「不是極值」。$x^4$、$-x^4$、$x^3$ 在 0 都有 $f'(0) = f''(0) = 0$，結果分別是極小、極大、兩者皆非。此時須回到一階判別。

反曲點（inflection point）是曲線上凹凸改變的點（函數在該點須連續）。須注意 $f''(c) = 0$ 只是候選：

• $x^3$ 在 0：$f'' = 6x$ 由負變正，是反曲點
• $x^4$ 在 0：$f'' = 12x^2$ 雖然是 0，但兩側都是正的，凹凸沒有改變，不是反曲點
• $x^{1/3}$ 在 0：$f''$ 不存在，但 $x < 0$ 時上凹、$x > 0$ 時下凹，是反曲點

判斷的標準始終是 $f''$ 是否變號。

手繪圖形的流程

將上述工具整理成流程。以本課開頭的 $f(x) = x^4 - 4x^3$ 為例：

1. 定義域與截距：定義域是全體實數。$f(x) = x^3(x-4)$，所以 $x$ 截距是 0 與 4，$y$ 截距是 0。
2. 對稱與漸近線：不是奇函數也不是偶函數；多項式沒有漸近線，$x \to \pm\infty$ 時 $f \to \infty$。
3. 一階導數看升降：$f' = 4x^3 - 12x^2 = 4x^2(x-3)$。臨界點 0 與 3。
4. 二階導數看凹凸：$f'' = 12x^2 - 24x = 12x(x-2)$。候選點 0 與 2。
5. 列表判斷：

由此表可知：$x = 0$ 的 $f'$ 兩側都是負，不是極值；但 $f''$ 由正變負，是反曲點，$f(0) = 0$。$x = 2$ 的 $f''$ 由負變正，是反曲點，$f(2) = -16$。$x = 3$ 的 $f'$ 由負變正，是局部極小，也是絕對最小值，$f(3) = -27$。

二階判別在此例的情形：$f''(3) = 36 > 0$，可判斷為極小；$f''(0) = 0$，無法判斷，須由一階判別得知。

重點整理

• 臨界點：定義域內 $f' = 0$ 或 $f'$ 不存在的點；局部極值只出現在此類點，但臨界點不一定是極值
• 閉區間上連續的函數有最大、最小值，比較臨界點與端點的函數值即可
• 均值定理：閉區間連續、開區間可微分，就存在 $c$ 使切線平行割線；由它推出遞增判別
• 一階判別看 $f'$ 變號；二階判別在 $f''(c) = 0$ 時無法判斷
• 反曲點取決於 $f''$ 是否變號，$f'' = 0$ 只是候選

下一課以這些工具解應用題：將文字問題寫成函數，再求最大值或最小值。更多例子見優微積分讀本的極值與最佳化。