最佳化

60 公尺圍籬的最大面積

在一面長牆旁圍一塊長方形菜圃，靠牆的一邊不需圍籬，另外三邊共用 60 公尺的圍籬，求面積最大的圍法。

不同圍法的面積差異很大。圍籬全部向外延伸（幾乎沒有寬度）時面積接近 0，貼著牆圍成細長條時面積也接近 0。最佳圍法介於兩者之間。

請先不計算，直接拖曳嘗試。圖上只顯示你經過的點，找到最大值之後才會畫出完整的曲線。

目標函數的建立

最佳化問題最困難的一步是將文字敘述寫成函數，之後的微分相對簡單。步驟如下：

1. 畫圖、命名變數。垂直牆的邊為 $x$，靠牆的邊為 $y$。
2. 寫出要最佳化的量（目標函數）：$A = xy$。
3. 用限制條件消去變數：$2x + y = 60$，所以 $y = 60 - 2x$，$A(x) = x(60 - 2x)$。
4. 寫出定義域：邊長不能是負的，$x \ge 0$ 且 $y = 60 - 2x \ge 0$，所以 $0 \le x \le 30$。
5. 找最佳值：這是閉區間上的連續函數，用閉區間法。$A'(x) = 60 - 4x = 0$ 得 $x = 15$。比較 $A(0) = 0$、$A(15) = 450$、$A(30) = 0$，最大值是 450。
6. 回答原問題：垂直牆的邊 15 公尺，靠牆的邊 30 公尺，面積 450 平方公尺。

定義域不可省略。 若牆只有 20 公尺，限制變成 $y = 60 - 2x \le 20$，即 $20 \le x \le 30$。$x = 15$ 雖使 $A' = 0$，卻需要 30 公尺的牆，無法實現。區間 $[20, 30]$ 內 $A' = 60 - 4x < 0$，面積持續下降，所以最大值在端點 $x = 20$，$A = 400$，且該處的導數不是 0。

因此「令導數等於 0」不是最佳化的全部：最佳值可能在端點，解出的根也可能不在定義域內。

無蓋紙箱的體積

一張 30 × 20 公分的厚紙板，四個角各剪去邊長 $x$ 的正方形，折成無蓋紙箱。$x$ 太小時箱子扁平，$x$ 太大時底面很小，以下求體積最大時的 $x$。

箱底是 $(30 - 2x)$ 乘 $(20 - 2x)$，高是 $x$：

$$V(x) = x(30-2x)(20-2x)$$

展開為 $4x^3 - 100x^2 + 600x$。定義域須使三個長度都不為負：$0 \le x \le 10$。微分後令其等於 0：

$$V'(x) = 12x^2 - 200x + 600 = 0$$

$$x = \frac{25 \pm 5\sqrt{7}}{3}$$

兩個根約為 3.924 和 12.743。後者不在定義域內（剪去 12.7 公分時，20 公分的邊長度不足），應捨去。比較 $V(0) = 0$、$V(10) = 0$、$V(3.924) \approx 1056.3$，最大體積約 1056.3 立方公分。

無界區間上的最佳化

製作容量 500 立方公分的圓柱罐（有上下底），求用料最省時的半徑。

體積固定：$\pi r^2 h = 500$，所以 $h = \frac{500}{\pi r^2}$。表面積（上下底加側面）：

$$S(r) = 2\pi r^2 + 2\pi r h = 2\pi r^2 + \frac{1000}{r}$$

其中 $r > 0$。

定義域是 $(0, \infty)$，不是閉區間，閉區間法不能直接用。沒有端點可供比較，且開區間上的連續函數不一定有最小值，須另行說明。

微分：$S'(r) = 4\pi r - \frac{1000}{r^2} = 0$，得 $r^3 = \frac{250}{\pi}$，$r = \sqrt[3]{250/\pi} \approx 4.301$。這是定義域內唯一的臨界點。

此臨界點為最小值，有兩種說明方式：

• 兩端的極限：$r \to 0^+$ 時 $\frac{1000}{r} \to \infty$，$r \to \infty$ 時 $2\pi r^2 \to \infty$，兩端都趨於無限大，所以連續函數的最小值一定在內部，而內部只有這一個候選。
• 一階判別：$r$ 小於臨界點時 $S' < 0$，大於時 $S' > 0$，$S$ 先降後升，所以這點是整個定義域上的最小值。

連續函數在一個區間上若只有一個局部極值，它必定也是絕對極值，因為函數要反向變化就必須再出現一次轉折。有多個局部極值時，此說法不適用。

計算得 $S \approx 348.7$ 平方公分，此時 $h = \frac{500}{\pi r^2} \approx 8.603$，恰為 $2r$：用料最省的圓柱罐，高等於直徑。

最短時間路徑與司乃耳定律

從岸上前往水中某處。起點離岸邊 30 公尺，終點在水中離岸 20 公尺，兩者沿岸邊方向相隔 50 公尺。跑步速率為每秒 5 公尺，游泳速率為每秒 1.5 公尺，以下求最佳的下水點。

直線路徑距離最短，但水中路程較長，而游泳速率較低。跑到終點正前方再下水，游泳路程最短，跑步路程卻較長。最快的路徑介於兩者之間。設下水點沿岸邊距離起點 $x$（$0 \le x \le 50$）：

$$T(x) = \frac{\sqrt{30^2 + x^2}}{5} + \frac{\sqrt{20^2 + (50-x)^2}}{1.5}$$

微分：

$$\begin{aligned} T'(x) = {} & \frac{1}{5} \cdot \frac{x}{\sqrt{30^2+x^2}} \\ & - \frac{1}{1.5} \cdot \frac{50-x}{\sqrt{20^2+(50-x)^2}} \end{aligned}$$

令 $\theta_1$、$\theta_2$ 分別是岸上與水中路徑和岸邊垂線的夾角，第一項的分式 $\frac{x}{\sqrt{30^2+x^2}}$ 即為 $\sin\theta_1$，第二項的分式即為 $\sin\theta_2$。因此 $T'(x) = 0$ 等價於

$$\frac{\sin\theta_1}{v_1} = \frac{\sin\theta_2}{v_2}$$

此方程式沒有簡單的公式解，須用數值方法。$T'(0) < 0$、$T'(50) > 0$，而且兩個根號項都是凸函數，$T'' > 0$，$T'$ 嚴格遞增，所以 $T'$ 恰有一個零點，該處即為最小值。解得 $x \approx 44.85$，$T \approx 24.56$ 秒；直線路徑需 27.34 秒，跑到正前方（$x = 50$）需 25.00 秒。

此式即光學中的司乃耳定律（Snell's law），描述光從一種介質進入另一種介質時的偏折。折射定律最早通常追溯到 984 年巴格達的伊本・薩爾（Ibn Sahl），這個歸屬仍有爭議；斯涅爾（Snellius）在 1621 年也得到等價的形式，生前沒有發表；笛卡兒（Descartes）1637 年發表了他的推導。費馬（Fermat）則從「光沿時間最短的路徑行進」的原理推出同一條定律，與本節的計算相同。

重點整理

• 流程：命名變數 → 目標函數 → 用限制條件消成一個變數 → 寫定義域 → 找最佳值 → 回答原問題
• 閉區間：比較臨界點與端點的函數值，最佳值可能在端點，導數不必為 0
• 解出的根須檢查是否在定義域內
• 無界或開區間：閉區間法不適用，須以兩端的極限或一階判別說明最佳值存在
• 最短時間問題推出 $\frac{\sin\theta_1}{v_1} = \frac{\sin\theta_2}{v_2}$，即司乃耳定律的形式

更多例子見優微積分讀本的極值與最佳化。下一課回到極限，以導數處理 $\frac{0}{0}$ 這類不定型。