參數式與極座標

參數式

操場上跑者的位置是時間的函數：$x$ 是 $t$ 的函數，$y$ 也是 $t$ 的函數。繞跑道一圈回到原點時，同一個 $x$ 對應多個 $y$，所以軌跡不是 $y = f(x)$ 的圖形。

將位置寫成

$$x = x(t), \qquad y = y(t)$$

稱為曲線的參數式（parametric equations），$t$ 稱為參數。它比 $y = f(x)$ 多一項資訊：點的運動方向與快慢。

例如 $(\cos t, \sin t)$ 和 $(\sin t, \cos t)$ 畫出同一個單位圓，方向卻相反；$(\cos 2t, \sin 2t)$ 也是同一個圓，速度加倍，$t$ 從 0 到 $2\pi$ 繞兩圈。曲線是點的集合，參數化是點沿曲線運動的方式，同一條曲線有多種參數化。

參數曲線的斜率與弧長

若曲線在某一段可寫成 $y = F(x)$，對 $t$ 微分並用連鎖律：$\frac{dy}{dt} = F'(x)\,\frac{dx}{dt}$。因此在 $\frac{dx}{dt} \ne 0$ 之處，

$$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt}$$

幾何上即速度向量 $(x', y')$ 的斜率，判讀如下：

• $y' = 0$、$x' \ne 0$：速度水平，水平切線
• $x' = 0$、$y' \ne 0$：速度垂直，垂直切線
• $x' = y' = 0$：點靜止，公式為 $\frac{0}{0}$，不能下結論，該處可能有尖點，須另行判斷

例。 $x = t^3 - 3t$、$y = t^2$。$x' = 3t^2 - 3$、$y' = 2t$。

• $t = 0$：$y' = 0$、$x' = -3$，水平切線，位置 $(0, 0)$
• $t = \pm 1$：$x' = 0$、$y' = \pm 2$，垂直切線
• $t = \pm\sqrt{3}$：兩個不同的 $t$ 都到達 $(0, 3)$，曲線在此自交。斜率分別是 $\frac{2\sqrt{3}}{6} = \frac{\sqrt{3}}{3}$ 和 $-\frac{\sqrt{3}}{3}$，所以同一點有兩條切線

弧長。 $t$ 變動一小段 $dt$ 時，點移動的水平與垂直距離約是 $x'\,dt$、$y'\,dt$，由畢氏定理，這一小段長度約是 $\sqrt{x'^2 + y'^2}\,dt$。加總（$x'$、$y'$ 連續，且曲線未重複經過）：

$$L = \int_a^b \sqrt{x'(t)^2 + y'(t)^2}\;dt$$

整個根號即為速率。同一段曲線若經過兩次，此積分算出的是路程，為弧長的兩倍。

擺線。 半徑 1 的圓沿直線滾動，圓周上一點的軌跡是 $x = t - \sin t$、$y = 1 - \cos t$，稱為擺線（cycloid）。$x' = 1 - \cos t$、$y' = \sin t$，在 $t = 2\pi$ 同時為 0，該點恰好接觸地面，速度為 0，形成尖點。速率可以化簡成 $\sqrt{2 - 2\cos t} = 2\lvert \sin(t/2) \rvert$，所以一個拱的長度是 $\int_0^{2\pi} 2\sin(t/2)\,dt = 8$，是滾動圓半徑的 8 倍。

1696 年約翰．白努利（Johann Bernoulli）在期刊《Acta Eruditorum》上提出一個問題：不計摩擦、只受重力時，從一點滑至另一點最快的曲線為何。答案是上下顛倒的擺線。

極座標

描述一個點，除了 $(x, y)$，也可用「在 $\theta$ 方向上距離 $r$」表示，此即極座標（polar coordinates）$(r, \theta)$。由三角函數的定義：

$$x = r\cos\theta, \qquad y = r\sin\theta, \qquad r^2 = x^2 + y^2$$

反向求角度時須注意：$\tan\theta = \frac{y}{x}$ 無法區分對角的象限。$(-1, -1)$ 的 $\frac{y}{x} = 1$，角度卻是 $\frac{5\pi}{4}$，不是 $\frac{\pi}{4}$。

同一個點有很多種極座標：$\theta$ 加 $2\pi$ 是同一點。$r$ 也可以為負，表示沿 $\theta$ 的反方向距離 $\lvert r \rvert$，所以 $(r, \theta)$ 和 $(-r, \theta + \pi)$ 是同一點。

極座標方程式 $r = f(\theta)$ 即為參數式：$x = f(\theta)\cos\theta$、$y = f(\theta)\sin\theta$，參數是 $\theta$。有些曲線以此形式表示較為簡潔：

面積。 直角座標分割為長方形，極座標則分割為扇形。半徑 $r$、圓心角 $\Delta\theta$ 的扇形占整個圓的 $\frac{\Delta\theta}{2\pi}$，面積是 $\pi r^2 \cdot \frac{\Delta\theta}{2\pi} = \frac12 r^2 \Delta\theta$。將許多細扇形加總（$r$ 連續）：

$$A = \int_\alpha^\beta \frac12\,r^2\,d\theta$$

這個 $\frac12$ 來自扇形面積，與三角形面積的 $\frac12$ 同源。

例。 心臟線 $r = 1 + \cos\theta$ 的面積：

$$\begin{aligned} A &= \frac12\int_0^{2\pi} (1 + 2\cos\theta + \cos^2\theta)\,d\theta \\ &= \frac12\left(2\pi + 0 + \pi\right) = \frac{3\pi}{2} \end{aligned}$$

$r = \cos 2\theta$ 的一片花瓣，$r$ 從 0 變到 $1$ 再回到 0，對應 $-\frac{\pi}{4} \le \theta \le \frac{\pi}{4}$，亦即 $r$ 相鄰的兩個零點之間：

$$\frac12\int_{-\pi/4}^{\pi/4} \cos^2 2\theta\,d\theta = \frac{\pi}{8}$$

須注意重複經過的情形。 $r = \cos\theta$ 在 $0 \le \theta \le \pi$ 已畫完整個圓，其後 $r$ 變為負值、點再度經過同一處。若積分至 $2\pi$，得到 $\frac{\pi}{2}$，是圓面積 $\frac{\pi}{4}$ 的兩倍。因此積分範圍須先從圖上確定。

重點整理

• 參數式描述點的運動；同一條曲線可以有不同的方向與速度
• $\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt}$（$x' \ne 0$）；$y' = 0$ 水平切線，$x' = 0$ 垂直切線，兩者皆為 0 須另行判斷
• 弧長 $L = \int \sqrt{x'^2 + y'^2}\,dt$，被積函數是速率；曲線重複經過時會重複計算
• $x = r\cos\theta$、$y = r\sin\theta$；$r < 0$ 表示畫在反方向；由 $\tan\theta$ 求角度須考慮象限
• 極座標面積 $A = \int \frac12 r^2\,d\theta$，$\frac12 r^2\,d\theta$ 是細扇形的面積；積分範圍須避免重複

下一課討論無窮多項之和為有限值的條件。