可分離方程式與成長模型

可分離方程式

培養皿中的細菌數量越多，每分鐘增加的數量也越多。放射性物質則相反，剩餘越多，每分鐘衰變的量也越多。兩者可寫成同一條規則：

$$\frac{dy}{dt} = k\,y$$

$k > 0$ 為成長，$k < 0$ 為衰減。上一課以歐拉法進行數值計算，本課以積分直接求解。

這個方程式的右邊可分解為「只含 $t$ 的部分」乘「只含 $y$ 的部分」，這種方程式稱為可分離（separable）方程式：

$$\frac{dy}{dt} = g(t)\,h(y)$$

分離變數的依據

常見的寫法是將 $y$ 移至左邊、$t$ 移至右邊，兩邊同時積分：

$$\frac{1}{h(y)}\,dy = g(t)\,dt$$

$$\int \frac{1}{h(y)}\,dy = \int g(t)\,dt$$

這看似將 $\frac{dy}{dt}$ 當成分數拆開，但它並非真正的分數。成立的理由是連鎖律。設 $H$ 是 $\frac{1}{h}$ 的反導函數，在 $h(y) \ne 0$ 的範圍，

$$\begin{aligned} \frac{d}{dt} H(y(t)) &= H'(y)\,\frac{dy}{dt} \\ &= \frac{1}{h(y)}\,\frac{dy}{dt} = g(t) \end{aligned}$$

最後一個等號用了原方程式。因此 $H(y(t))$ 是 $g(t)$ 的反導函數，亦即 $H(y) = \int g(t)\,dt + C$。移項的寫法只是這段推導的簡寫。

解 $y' = t\,y$： 假設 $y \ne 0$，分離後積分：

$$\int \frac{1}{y}\,dy = \int t\,dt$$

$$\ln\lvert y \rvert = \frac{t^2}{2} + C$$

注意絕對值：$\frac{1}{y}$ 的反導函數是 $\ln\lvert y \rvert$。兩邊取指數，$\lvert y \rvert = e^{C} e^{t^2/2}$，所以 $y = A e^{t^2/2}$，其中 $A = \pm e^{C}$ 是不為 0 的常數。

遺漏的解。 先前除以 $y$ 時假設了 $y \ne 0$，所以須檢查 $y = 0$：代入原方程式兩邊都是 0，它也是解。納入 $A = 0$，完整的答案是 $y = A e^{t^2/2}$，$A$ 是任意常數。

並非每次都能如此補回。$y' = y^2$ 分離後得到 $y = -\frac{1}{t + C}$，而 $y = 0$ 同樣是解，卻不對應任何一個 $C$。因此除以含 $y$ 的式子之前，須先記下使其等於 0 的常數解。

指數成長與半衰期

以同樣的步驟解 $y' = k y$、$y(0) = y_0$：$\ln\lvert y \rvert = kt + C$，整理後

$$y(t) = y_0\,e^{kt}$$

此解的特徵是每隔固定時間乘上固定倍數，與目前的數值無關。

• $k > 0$：倍增時間 $T$ 滿足 $e^{kT} = 2$，所以 $T = \frac{\ln 2}{k}$
• 衰減通常寫成 $y' = -k y$（$k > 0$）：半衰期 $T$ 滿足 $e^{-kT} = \frac{1}{2}$，所以 $T = \frac{\ln 2}{k}$

例如半衰期 8 天的物質，$k = \frac{\ln 2}{8} \approx 0.0866$（每天）。24 天是 3 個半衰期，剩餘 $\frac{1}{8}$，與初始量無關。

牛頓冷卻定律

咖啡放在室內，溫度 $T$ 與室溫 $T_a$ 相差越多，下降越快。假設咖啡溫度均勻、室溫不變（這是簡化的模型），

$$\frac{dT}{dt} = -k\,(T - T_a), \qquad k > 0$$

令 $u = T - T_a$，因為 $T_a$ 是常數，$u' = T'$，方程式變為 $u' = -k u$，即前述的衰減。因此

$$T(t) = T_a + (T_0 - T_a)\,e^{-kt}$$

衰減的是溫差，不是溫度。 平衡解是 $T = T_a$，也是穩定的。

例（示意值）： 咖啡初溫 85°C，室溫 25°C，5 分鐘後測得 70°C。溫差從 60 變成 45：

$$e^{-5k} = \frac{45}{60} = \frac{3}{4}$$

$$k = \frac{\ln(4/3)}{5} \approx 0.0575$$

計算降至 50°C 的時間：溫差須從 60 變成 25：$e^{-kt} = \frac{25}{60}$，$t = \frac{\ln(2.4)}{k} \approx 15.2$ 分鐘。最初下降 15°C 需 5 分鐘，再下降 20°C 需 10 分鐘多，因為溫差越小下降越慢。

Logistic 成長模型

資源有限，指數成長不可能無限持續。最簡單的修正是使成長率隨接近上限 $K$ 而變小：

$$\frac{dP}{dt} = r\,P\left(1 - \frac{P}{K}\right)$$

$P$ 很小時括號約等於 1，近似指數成長；$P$ 接近 $K$ 時括號接近 0，成長趨於停止。$K$ 稱為環境容納量。

不解方程式，由右邊可知平衡解是 $P = 0$（不穩定）和 $P = K$（穩定）。

推導解。 假設 $P \ne 0$、$P \ne K$，分離變數並將左邊分解為部分分式：

$$\frac{K}{P(K-P)} = \frac{1}{P} + \frac{1}{K-P}$$

$$\int \left(\frac{1}{P} + \frac{1}{K-P}\right) dP = \int r\,dt$$

$$\ln\left\lvert \frac{P}{K-P} \right\rvert = rt + C$$

取指數、代入 $P(0) = P_0$、再解出 $P$：

$$P(t) = \frac{K}{1 + A\,e^{-rt}}, \qquad A = \frac{K - P_0}{P_0}$$

$P_0 > K$ 時 $A$ 是負的，公式同樣成立，曲線從上方趨近 $K$。

成長最快的時刻。 成長率 $f(P) = rP(1 - P/K)$ 是開口向下的拋物線，頂點在 $P = \frac{K}{2}$。也可由二階導數得知：

$$P'' = f'(P)\,P' = r\left(1 - \frac{2P}{K}\right) P'$$

當 $0 < P < K$ 時 $P' > 0$，所以 $P'' = 0$ 恰好發生在 $P = \frac{K}{2}$，$P''$ 在該處由正變負。此點是 S 形曲線的反曲點。代入公式，時間是 $t = \frac{\ln A}{r}$（$A > 1$，亦即 $P_0 < \frac{K}{2}$ 時才在 $t > 0$）。

重點整理

• 可分離方程式 $y' = g(t)\,h(y)$：分離後兩邊積分。成立的理由是連鎖律，$\frac{dy}{dt}$ 並非真正的分數
• $\int \frac{1}{y}\,dy = \ln\lvert y \rvert + C$，絕對值不能省；除以 $y$ 之前先記下常數解
• $y' = ky$ 的解是 $y_0 e^{kt}$，倍增時間與半衰期都是 $\frac{\ln 2}{\lvert k \rvert}$
• 牛頓冷卻：溫差指數衰減，$T = T_a + (T_0 - T_a)e^{-kt}$
• Logistic：$P = \frac{K}{1 + Ae^{-rt}}$，$P = K$ 穩定、$P = 0$ 不穩定，成長最快在 $P = \frac{K}{2}$

下一課介紹另一種描述曲線的方式：以 $t$ 為參數的參數式。更多一階方程式的例子見優微積分讀本的一階微分方程。