多變數函數與偏導數

兩變數函數

登山地圖上每個位置對應一個高度，校園裡每棟樓的每個位置也對應一個溫度。輸入是兩個數（東西、南北的座標），輸出是一個數。這種對應稱為兩變數函數 $z = f(x, y)$。

定義域是可輸入之點的集合，此時是平面上的一塊區域，不再是數線上的區間。例如 $f(x, y) = \sqrt{4 - x^2 - y^2}$ 的定義域是半徑 2 的圓盤。

這類函數有兩種表示方式：

• 曲面：以 $f(x, y)$ 為高度，畫在三維空間。形象直觀，但部分區域會被遮蔽
• 等高線（level curve）：連接高度相同的點，$f(x, y) = k$。登山地圖即採用此方式

判讀等高線地圖時，線越密表示坡越陡，因為移動一小段距離高度就有較大的變化；等高線是環狀的封閉曲線，通常環繞山頂或谷底。

一變數函數只有一個變化方向。兩變數函數在同一點可沿無限多個方向變化，各方向的坡度都可能不同。本課先處理最簡單的兩個方向：東西向和南北向。

偏導數的定義與計算

固定 $y = b$ 時，$f(x, b)$ 是只含變數 $x$ 的函數，可依一變數的方式微分。所得導數稱為偏導數（partial derivative）：

$$f_x(a, b) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h, b) - f(a, b)}{h}$$

$$f_y(a, b) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a, b+h) - f(a, b)}{h}$$

常見寫法另有 $\frac{\partial f}{\partial x}$、$\frac{\partial z}{\partial y}$。計算時，另一個變數視為常數，一變數的微分法則全部適用。例如 $f(x, y) = x^2 y + \sin(xy)$：

$$f_x = 2xy + y\cos(xy)$$

$$f_y = x^2 + x\cos(xy)$$

計算 $f_x$ 時 $y$ 是常數，所以 $\sin(xy)$ 以連鎖律微分，內層 $xy$ 對 $x$ 的導數是 $y$。

二階偏導數有四個：$f_{xx}$、$f_{yy}$、$f_{xy}$、$f_{yx}$。上例可算出 $f_{xy} = f_{yx} = 2x + \cos(xy) - xy\sin(xy)$。先對 $x$ 再對 $y$，與先對 $y$ 再對 $x$，結果相同。

此結果並非恆成立。克雷洛定理（Clairaut's theorem）：若 $f_{xy}$ 和 $f_{yx}$ 在點 $(a, b)$ 的鄰近都存在且連續，則 $f_{xy}(a, b) = f_{yx}(a, b)$。缺少連續這個條件時兩者可能不相等：$f(x,y) = \frac{xy(x^2-y^2)}{x^2+y^2}$（$f(0,0) = 0$）在原點 $f_{xy} = -1$、$f_{yx} = 1$。多項式、指數、正弦餘弦這類函數的組合都滿足條件；分母可能為 0 或含根號的函數，須檢查那些點的鄰近。

兩變數函數的極限

一變數的極限只需考慮左右兩側。兩變數時，$(x, y)$ 可沿無限多條路徑靠近 $(a, b)$，極限存在要求沿任何路徑都靠近同一個值。

由此可得判斷極限不存在的方法：找出兩條路徑，得到不同的值。例如

$$f(x, y) = \frac{xy}{x^2 + y^2}$$

在原點沒有定義。沿 $y = 0$ 靠近時 $f = 0$；沿 $y = x$ 靠近時 $f = \frac{x^2}{2x^2} = \frac{1}{2}$。兩個值不同，所以極限不存在。一般而言，沿 $y = mx$ 靠近時 $f = \frac{m}{1+m^2}$，只與斜率有關。

反之須注意：每條直線路徑都得到同一個值，仍不能保證極限存在。$\frac{x^2 y}{x^4 + y^2}$ 沿所有直線靠近原點都趨近 0，沿拋物線 $y = x^2$ 卻是 $\frac{1}{2}$。要證明極限存在，通常須使用夾擠定理或改用極座標，證明與路徑無關。

連續的定義與先前相同：$\lim_{(x,y) \to (a,b)} f(x, y) = f(a, b)$。多項式、指數、三角函數的和差積與合成，在定義域內都連續。

偏導數存在與可微分的差別

一變數時，「導數存在」等同可微分，並可推得連續。兩變數時情況不同：偏導數只涉及東西與南北兩條線，不包含其他方向的資訊。

考慮上述的 $f(x, y) = \frac{xy}{x^2+y^2}$，補定義 $f(0, 0) = 0$。沿 $x$ 軸和 $y$ 軸函數值皆為 0，所以

$$f_x(0, 0) = 0, \qquad f_y(0, 0) = 0$$

兩個偏導數都存在，但此函數在原點並不連續。

因此多變數的可微分要求更強：在 $(a, b)$ 附近，$f$ 可由一個平面（線性函數）良好地近似，誤差遠小於距離。下一課將寫出此平面。一個實用的充分條件是：$f_x$、$f_y$ 在點的鄰近都存在且連續，則 $f$ 在該點可微分。可微分可推得連續，也可推得偏導數存在；反向皆不成立。

多變數連鎖律：$z = f(x, y)$ 可微分，$x = x(t)$、$y = y(t)$ 也可微分，則

$$\frac{dz}{dt} = f_x \frac{dx}{dt} + f_y \frac{dy}{dt}$$

其意義是：在一小段時間內，$x$ 變動造成的高度變化與 $y$ 變動造成的高度變化相加。在山坡上行走時，高度的變化率由兩個方向的坡度和兩個方向的速度決定。例如 $f = x^2 y$，$x = \cos t$，$y = \sin t$：

$$\begin{aligned}\frac{dz}{dt} &= 2xy(-\sin t) + x^2 \cos t \\ &= -2\cos t\sin^2 t + \cos^3 t\end{aligned}$$

把 $x$、$y$ 代入 $z = \cos^2 t\sin t$ 直接對 $t$ 微分，結果相同。$x$、$y$ 依賴兩個變數 $s$、$t$ 時亦然，$\frac{\partial z}{\partial s} = f_x x_s + f_y y_s$。

重點整理

• 曲面與等高線是同一個函數的兩種表示方式；等高線越密，坡越陡
• 極限存在要求沿所有路徑都得到同一個值。兩條路徑的值不同則極限不存在；所有直線路徑的值相同仍不足以保證存在
• 偏導數：另一個變數視為常數，等於切片曲線的切線斜率
• 克雷洛定理：$f_{xy}$、$f_{yx}$ 在鄰近存在且連續，則兩者相等；缺少條件時可能不相等
• 偏導數都存在不代表可微分，甚至不代表連續；偏導數在鄰近連續是可微分的充分條件
• 連鎖律：$\frac{dz}{dt} = f_x x'(t) + f_y y'(t)$，兩項變化率相加

下一課討論任意方向的坡度，並引入梯度。