向量函數與運動

向量函數與速度

在操場彎道上以固定配速跑步時，手錶顯示的配速不變，身體卻必須向內傾才能轉彎。若「速度」只是一個數字，此現象無法解釋。速度具有方向，方向改變時速度也隨之改變。

描述這種運動時，將位置寫成時間的函數。每個 $t$ 對應一個位置向量：

$$r(t) = (x(t),\ y(t),\ z(t))$$

這稱為向量函數（vector function）。例如 $r(t) = (\cos t, \sin t, t)$ 是一條螺旋線：$x$、$y$ 繞圈，$z$ 持續增加。

導數仍定義為差商的極限，只是分子變成兩個向量相減：

$$r'(t) = \lim_{h \to 0} \frac{r(t+h) - r(t)}{h}$$

向量相減與除以數字都逐分量計算，所以分量各自微分即可：$r'(t) = (x'(t), y'(t), z'(t))$。$r(t+h) - r(t)$ 是從舊位置指向新位置的割線，$h \to 0$ 時方向變成切線方向，因此 $r'(t)$ 不是零向量時，它是切向量。

• 速度（velocity）$v(t) = r'(t)$：向量，有方向
• 速率（speed）$\lvert v(t) \rvert$：一個數字，即手錶顯示的快慢

以螺旋線為例：$v(t) = (-\sin t, \cos t, 1)$，速率 $\sqrt{\sin^2 t + \cos^2 t + 1} = \sqrt{2}$，為常數，但方向持續改變。

加速度的切向與法向分量

加速度是速度的導數：$a(t) = v'(t) = r''(t)$。

拋體：只受重力時 $a = (0, -g)$ 是常數，積分兩次得到 $r(t) = (v_{0x} t,\ v_{0y} t - \frac{1}{2} g t^2)$。小工具中的拋體 $r(t) = (10t, 10t - 4.9t^2)$ 速度為 $(10, 10 - 9.8t)$，加速度恆為 $(0, -9.8)$。

等速率圓周運動：$r(t) = (R\cos\omega t, R\sin\omega t)$，微分兩次得到

$$v(t) = (-R\omega\sin\omega t,\ R\omega\cos\omega t)$$

$$a(t) = -\omega^2 r(t)$$

速率為常數 $R\omega$，加速度卻不為 0：加速度指向圓心，大小為 $R\omega^2 = \frac{\lvert v \rvert^2}{R}$。

此現象並非圓周運動獨有。只要速率不變，加速度就和速度垂直：$\lvert v \rvert^2 = v \cdot v$ 是常數，對 $t$ 微分（內積也有乘積法則）得到 $2\,v \cdot a = 0$。

一般情況下，將加速度分解為兩部分。令 $T = \frac{v}{\lvert v \rvert}$ 是單位切向量（需要 $v \neq 0$）：

$$a = a_T\,T + a_N\,N$$

$$a_T = \frac{v \cdot a}{\lvert v \rvert}, \qquad a_N = \frac{\lvert v \times a \rvert}{\lvert v \rvert}$$

（平面曲線補上 $z = 0$ 後再計算外積。）$a_T$ 是速率的變化率，$a_T = \frac{d}{dt}\lvert v \rvert$，決定速率的增減。$a_N \ge 0$ 決定轉彎，$N$ 是單位法向量，指向轉彎的內側。兩者垂直，所以 $\lvert a \rvert^2 = a_T^2 + a_N^2$。

拋體的 $a_T = \frac{v \cdot a}{\lvert v \rvert}$ 分子是 $-9.8(10 - 9.8t)$，在 $t = \frac{10}{9.8} \approx 1.02$ 變號：上升時速率減小，下降時速率增大，最高點速率最小。此時加速度全部為法向分量，並不代表加速度為 0。

弧長與曲率

弧長：速率對時間的積分即為路程，

$$s = \int_a^b \lvert r'(t) \rvert\,dt$$

螺旋線 $(\cos t, \sin t, t)$ 繞一圈（$t$ 從 0 到 $2\pi$）的長度是 $\int_0^{2\pi}\sqrt{2}\,dt = 2\pi\sqrt{2}$。同一條曲線可用不同的速率走過，但長度不變。以已走過的長度 $s$ 為參數，稱為弧長參數：螺旋線取 $t = \frac{s}{\sqrt{2}}$，寫成 $r(s) = (\cos\frac{s}{\sqrt{2}}, \sin\frac{s}{\sqrt{2}}, \frac{s}{\sqrt{2}})$，此時速率恆為 1。

曲率（curvature）描述曲線彎曲的程度。它只應與曲線的形狀有關，與運動的快慢無關，因此定義為單位切向量對弧長的變化率：

$$\kappa = \left\lvert \frac{dT}{ds} \right\rvert = \frac{\lvert T'(t) \rvert}{\lvert r'(t) \rvert} = \frac{\lvert r'(t) \times r''(t) \rvert}{\lvert r'(t) \rvert^3}$$

幾個常見的例子：

• 直線：$T$ 不變，$\kappa = 0$
• 半徑 $R$ 的圓：$\kappa = \frac{1}{R}$。半徑越小，彎曲程度越大
• 函數圖形 $y = f(x)$：$\kappa = \frac{\lvert f''(x) \rvert}{(1 + f'(x)^2)^{3/2}}$。拋物線 $y = x^2$ 在頂點 $\kappa = 2$，在 $x = 1$ 僅為 $\frac{2}{5^{3/2}} \approx 0.179$

曲率圓是在該點最貼近曲線的圓，半徑為 $\frac{1}{\kappa}$，圓心位於法向量所指的一側。

曲率也說明了上一節的法向分量：$a_N = \kappa \lvert v \rvert^2$。車輛轉彎時，側向加速度與彎道的曲率成正比，也與車速的平方成正比。車速加倍時，側向加速度變為四倍。

重點整理

• 向量函數分量各自微分；$r'(t)$ 不是零向量時是切向量
• 速度是向量，速率是它的長度；$a = r''(t)$
• 速率不變時 $v \cdot a = 0$，加速度和速度垂直；等速率圓周運動的加速度指向圓心，大小 $\frac{\lvert v \rvert^2}{R}$
• $a_T = \frac{v \cdot a}{\lvert v \rvert}$ 決定速率的增減，$a_N = \frac{\lvert v \times a \rvert}{\lvert v \rvert} = \kappa\lvert v \rvert^2$ 決定轉彎
• 弧長 $\int \lvert r' \rvert\,dt$；曲率 $\kappa = \frac{\lvert r' \times r'' \rvert}{\lvert r' \rvert^3}$，圓的曲率是 $\frac{1}{R}$

下一課由「一個變數輸入、多個輸出」轉為「多個變數輸入、一個輸出」，介紹多變數函數與偏導數。