二重積分

二重積分的定義

一棟體育館的屋頂高度隨位置變化，$z = f(x, y)$，其下方空間的體積須以積分計算。一變數時將面積切成細長方形；此處將地板切成 $n \times n$ 個小方塊，每塊上方立一根方柱，高度取該格內某一點的 $f$ 值：

$$\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n} f(x_i^*, y_j^*)\,\Delta x\,\Delta y$$

這稱為二重黎曼和。$n \to \infty$ 時的極限稱為二重積分：

$$\iint_R f(x, y)\,dA = \lim_{n \to \infty}\sum_{i}\sum_{j} f(x_i^*, y_j^*)\,\Delta A$$

$f$ 在閉矩形 $R$ 上連續時，無論每格取哪一點，極限都存在且相同。$f \ge 0$ 時它等於體積；$f$ 有正有負時，它等於 $xy$ 平面上方的體積減去下方的體積。

不同的取點方式收斂速度不同。下面的 $f = 4 - x^2 - y^2$ 在 $[0, 1] \times [0, 1]$ 上，精確值是 $\frac{10}{3}$。取中點時誤差恰為 $\frac{1}{6n^2}$，$n$ 加倍時誤差變為四分之一；取左下角時誤差為 $\frac{3n-1}{3n^2}$，約與 $\frac{1}{n}$ 成比例，收斂明顯較慢。

疊次積分與富比尼定理

二重積分不必直接計算極限。可類比切麵包：固定 $x$，切出一片截面，其面積為

$$A(x) = \int_c^d f(x, y)\,dy$$

計算時 $x$ 視為常數。將所有截面沿 $x$ 方向累加，體積為 $\int_a^b A(x)\,dx$。這稱為疊次積分（iterated integral）。例如

$$\begin{aligned}&\int_0^1\int_0^1 (4 - x^2 - y^2)\,dy\,dx \\ &= \int_0^1 \left(4 - x^2 - \frac{1}{3}\right)dx = \frac{11}{3} - \frac{1}{3} = \frac{10}{3}\end{aligned}$$

富比尼定理（Fubini's theorem）：$f$ 在矩形 $R = [a, b] \times [c, d]$ 上連續時，

$$\iint_R f\,dA = \int_a^b\int_c^d f\,dy\,dx = \int_c^d\int_a^b f\,dx\,dy$$

兩種順序都等於二重積分。若缺少連續（或更一般地，$\lvert f \rvert$ 的積分有限）這個條件，結論可能不成立。

$$\int_0^1\int_0^1 \frac{x^2 - y^2}{(x^2 + y^2)^2}\,dy\,dx = \frac{\pi}{4}$$

$$\int_0^1\int_0^1 \frac{x^2 - y^2}{(x^2 + y^2)^2}\,dx\,dy = -\frac{\pi}{4}$$

此函數在原點附近無界，$\lvert f \rvert$ 的積分為無窮大，兩種順序的結果相差一個正負號。

平均值的定義與一變數相同：$f$ 在區域 $D$ 上的平均值是 $\frac{1}{\text{面積}(D)}\iint_D f\,dA$。上述屋頂的平均高度是 $\frac{10}{3}$，因為地板面積是 1。以 $f = 1$ 代入時，$\iint_D 1\,dA$ 即為 $D$ 的面積。

一般區域：I 型與 II 型

區域不是矩形時，上下限隨另一個變數改變，積分順序也與區域的描述方式相關。

• I 型（垂直切片）：$a \le x \le b$，$g_1(x) \le y \le g_2(x)$。$\iint_D f\,dA = \int_a^b\int_{g_1(x)}^{g_2(x)} f\,dy\,dx$
• II 型（水平切片）：$c \le y \le d$，$h_1(y) \le x \le h_2(y)$。$\iint_D f\,dA = \int_c^d\int_{h_1(y)}^{h_2(y)} f\,dx\,dy$

外層積分的上下限一定是數字，內層才可以是另一個變數的函數。

例如 $y = x^2$ 與 $y = x$ 圍成的區域。I 型：$0 \le x \le 1$、$x^2 \le y \le x$。II 型：$0 \le y \le 1$、$y \le x \le \sqrt{y}$（$y = x$ 改寫成 $x = y$ 是左邊界，$y = x^2$ 改寫成 $x = \sqrt{y}$ 是右邊界）。兩種方式算出的面積都是 $\frac{1}{6}$。

交換積分順序不能只交換符號，須依區域重新描述。步驟為：畫出區域，改變切片方向，讀出新的上下限。

交換順序的用途：有些積分依原來的順序無法求出。$e^{y^2}$ 沒有初等反導函數，所以

$$\int_0^1\int_x^1 e^{y^2}\,dy\,dx$$

內層無法積分。區域是 $0 \le x \le 1$、$x \le y \le 1$，即直線 $y = x$ 上方的三角形。改用水平切片：$0 \le y \le 1$、$0 \le x \le y$，

$$\int_0^1\int_0^y e^{y^2}\,dx\,dy = \int_0^1 y\,e^{y^2}\,dy = \frac{e - 1}{2}$$

內層對 $x$ 積分時 $e^{y^2}$ 是常數，多出的 $y$ 使外層可以代換。$e^{y^2}$ 在此區域上連續，所以交換順序成立。

重點整理

• 二重積分是方柱體積總和的極限；$f$ 有正有負時是上方減下方
• 富比尼定理：連續函數可以用疊次積分計算，順序可以交換；條件不成立時兩種順序可能不同
• 外層上下限是數字，內層才可以是函數
• 交換順序須畫出區域並重新描述，不能只把符號對調
• 面積是 $\iint_D 1\,dA$，平均值是積分除以面積

下一課討論圓形區域的積分：改用極座標，並解釋多出的因子 $r$ 的來源。