極座標、三重積分與座標變換

圓形區域的積分

考慮圓盤 $x^2 + y^2 \le 4$ 上的 $\iint (x^2 + y^2)\,dA$。使用直角座標時，上下限是 $-\sqrt{4 - x^2}$ 到 $\sqrt{4 - x^2}$，積分相當繁複。圓形區域適合使用極座標 $x = r\cos\theta$、$y = r\sin\theta$，區域變成 $0 \le r \le 2$、$0 \le \theta \le 2\pi$，$x^2 + y^2$ 變成 $r^2$。

此時 $dA$ 不等於直覺上的 $dr\,d\theta$。在極座標方格中，$r$ 和 $\theta$ 各增加一小段所圍成的小區塊，是兩段圓弧夾成的扇環，離原點越遠面積越大，同樣的 $\Delta r$、$\Delta\theta$，弧長是 $r\,\Delta\theta$。以下練習呈現此現象。

極座標的面積元素

半徑 $r$ 到 $r + \Delta r$、角度差 $\Delta\theta$ 的扇環，面積是兩個扇形相減（扇形面積是 $\frac{1}{2}R^2\Delta\theta$）：

$$\frac{1}{2}(r + \Delta r)^2\Delta\theta - \frac{1}{2}r^2\Delta\theta = \left(r + \frac{\Delta r}{2}\right)\Delta r\,\Delta\theta$$

$\Delta r$ 很小時，面積 $\approx r\,\Delta r\,\Delta\theta$。相差的 $\frac{1}{2}\Delta r^2\Delta\theta$ 比它小一階，取極限後消失。因此

$$\begin{aligned}&\iint_D f(x, y)\,dA \\ &= \int_\alpha^\beta\int_{r_1(\theta)}^{r_2(\theta)} f(r\cos\theta, r\sin\theta)\,r\,dr\,d\theta\end{aligned}$$

本課開頭的例子：

$$\int_0^{2\pi}\int_0^2 r^2 \cdot r\,dr\,d\theta = 2\pi \cdot \frac{2^4}{4} = 8\pi$$

遺漏 $r$ 會得到 $\frac{16\pi}{3}$，此結果有誤。

高斯積分是此方法最著名的應用。$\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2}\,dx$ 沒有初等反導函數，無法直接積分。令其等於 $I$，將兩個積分相乘：

$$\begin{aligned}I^2 &= \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2}\,dx \int_{-\infty}^{\infty} e^{-y^2}\,dy \\ &= \iint_{\mathbb{R}^2} e^{-(x^2+y^2)}\,dA\end{aligned}$$

（被積函數為正，所以可以如此合併，順序也可以交換。）改用極座標後，多出的 $r$ 使積分得以計算：

$$I^2 = \int_0^{2\pi}\int_0^\infty e^{-r^2} r\,dr\,d\theta = 2\pi \cdot \frac{1}{2} = \pi$$

因為 $I > 0$，$I = \sqrt{\pi}$。半徑 $R$ 的圓盤上積分值是 $\pi(1 - e^{-R^2})$，小工具中呈現的即為此值趨近 $\pi$。常態分布的 $\frac{1}{\sqrt{2\pi}}$ 即由此而來。

三重積分、柱座標與球座標

三重積分 $\iiint_E f\,dV$ 將立體切成小方塊 $dV = dx\,dy\,dz$。$f = 1$ 時等於體積；$f$ 為密度時等於質量。計算同樣使用疊次積分，連續函數在長方體上可以任意交換順序（富比尼），一般區域須依其形狀寫出上下限，由內到外，外層是數字。

柱座標：$x = r\cos\theta$、$y = r\sin\theta$，$z$ 不變。底面使用極座標，高度不變，所以

$$dV = r\,dr\,d\theta\,dz$$

球座標：以與原點的距離 $\rho$ 和兩個角度描述。

$$\begin{aligned}x &= \rho\sin\phi\cos\theta \\ y &= \rho\sin\phi\sin\theta \\ z &= \rho\cos\phi\end{aligned}$$

$\phi$ 是與 $+z$ 軸的夾角，$0 \le \phi \le \pi$；$\theta$ 是 $xy$ 平面上的方位，$0 \le \theta \le 2\pi$。

注意符號的慣例：這是數學教科書的常見寫法。物理與工程常把兩個角的名稱對調（$\theta$ 是與 $z$ 軸的夾角，$\phi$ 是方位），閱讀其他書籍或撰寫程式時須先確認。

小塊的三個邊長約為 $\Delta\rho$、$\rho\,\Delta\phi$（經線方向的弧）、$\rho\sin\phi\,\Delta\theta$（緯線方向的弧，該圈的半徑是 $\rho\sin\phi$），所以

$$dV = \rho^2\sin\phi\,d\rho\,d\phi\,d\theta$$

靠近北極（$\phi$ 很小）時，緯線圈很小，小塊變得很窄。以此驗算球的體積：

$$\begin{aligned}&\int_0^{2\pi}\int_0^\pi\int_0^R \rho^2\sin\phi\,d\rho\,d\phi\,d\theta \\ &= 2\pi \cdot 2 \cdot \frac{R^3}{3} = \frac{4}{3}\pi R^3\end{aligned}$$

雅可比行列式與面積放大倍率

極座標的 $r$、球座標的 $\rho^2\sin\phi$ 都是同一個結果的特例。

先考慮線性變換 $T(u, v) = (au + bv,\ cu + dv)$。它將單位方格變成平行四邊形，兩條邊是 $(a, c)$ 和 $(b, d)$，面積等於外積的長度

$$\lvert ad - bc \rvert$$

即行列式的絕對值。每個方格都放大相同的倍數。行列式為負表示方格被翻面；行列式為 0 表示整個平面被壓縮成一條線或一點。

一般的變換 $x = x(u, v)$、$y = y(u, v)$，局部放大後接近線性（線性近似），局部矩陣由偏導數組成，其行列式即為雅可比行列式（Jacobian）：

$$J = \frac{\partial(x, y)}{\partial(u, v)} = \begin{vmatrix} x_u & x_v \\ y_u & y_v \end{vmatrix} = x_u y_v - x_v y_u$$

$\lvert J \rvert$ 是小區塊在該點的面積放大倍率。積分的換元公式為：

$$\begin{aligned}&\iint_R f(x, y)\,dx\,dy \\ &= \iint_S f(x(u,v), y(u,v))\,\lvert J \rvert\,du\,dv\end{aligned}$$

條件是 $T$ 有連續的偏導數，在 $S$ 內部（除了邊界）一對一，$J$ 不為 0。須取絕對值，因為面積不為負。

檢查極座標：$x = r\cos\theta$、$y = r\sin\theta$，$J = \cos\theta \cdot r\cos\theta - (-r\sin\theta)\sin\theta = r$。即為多出的 $r$。

橢圓面積：$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} \le 1$，令 $x = au$、$y = bv$，區域變成單位圓盤，$J = ab$，面積是 $ab \cdot \pi = \pi ab$。

簡化邊界的變換：區域由 $x + y$、$x - y$ 的範圍圍成時，令 $u = x + y$、$v = x - y$，即 $x = \frac{u+v}{2}$、$y = \frac{u-v}{2}$，$J = \frac{1}{2} \cdot (-\frac{1}{2}) - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = -\frac{1}{2}$，積分時乘 $\lvert J \rvert = \frac{1}{2}$。

重點整理

• 極座標 $dA = r\,dr\,d\theta$，$r$ 來自小扇環的面積，不可省略
• 高斯積分 $\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2}dx = \sqrt{\pi}$：平方後改用極座標
• 柱座標 $dV = r\,dr\,d\theta\,dz$；球座標 $dV = \rho^2\sin\phi\,d\rho\,d\phi\,d\theta$，$\phi$、$\theta$ 的名稱在數學與物理的慣例不同
• 雅可比行列式是局部的放大倍率；積分時乘其絕對值

下一課由函數轉為向量場，討論沿路徑累積的功。