二階微分方程與振動

彈簧質量系統的方程式

機車的避震器、大樓的制震裝置、耳機內的振膜，本質上都是連接彈簧的質量，再加上某種摩擦。將質量 $m$ 拉離平衡位置 $y$ 時，受到兩個力：

• 彈簧的回復力：虎克定律（Hooke's law）$-ky$，$k > 0$ 是彈性係數，位移越大拉力越大，方向朝向平衡位置
• 阻尼力：$-cy'$，$c \ge 0$，速度越快阻力越大，方向與運動相反（這是常用的簡化模型）

由牛頓第二定律，質量乘加速度等於合力，$my'' = -ky - cy'$，移項得到

$$m y'' + c y' + k y = 0$$

這是常係數二階線性齊次微分方程式。「二階」表示需要兩個初始條件：起始位置 $y(0)$ 與起始速度 $y'(0)$。

此方程式具有重要的性質：線性。若 $y_1$、$y_2$ 都是解，$C_1 y_1 + C_2 y_2$ 也是解（代入後每一項都可以提出常數）。因此只要找到兩個不成倍數關係的解，即可配合任何初始條件，得到所有的解。

特徵方程式的三種情況

指數函數微分後仍是自身的倍數。試 $y = e^{rt}$，$y' = re^{rt}$、$y'' = r^2 e^{rt}$，代入後提出 $e^{rt}$（其值恆不為 0）：

$$m r^2 + c r + k = 0$$

這稱為特徵方程式（characteristic equation）。微分方程化為二次方程式，兩個根 $r = \frac{-c \pm \sqrt{c^2 - 4mk}}{2m}$，依判別式分成三種情況：

其中 $\alpha = -\frac{c}{2m}$，$\beta = \frac{\sqrt{4mk - c^2}}{2m}$。

重根的第二個解。 重根只給出一個解 $e^{rt}$，尚缺一個。$te^{rt}$ 恰好也是解，直接代入可驗證：$y' = (1 + rt)e^{rt}$、$y'' = (2r + r^2 t)e^{rt}$，得到

$$\left[(mr^2 + cr + k)\,t + (2mr + c)\right]e^{rt} = 0$$

第一個括號因為 $r$ 是根而等於 0，第二個因為 $r = -\frac{c}{2m}$ 也等於 0。

虛根與振盪。 根是複數時，$e^{(\alpha + \beta i)t} = e^{\alpha t} e^{i\beta t}$。由歐拉公式（Euler's formula）$e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta$：

$$e^{(\alpha + \beta i)t} = e^{\alpha t}(\cos\beta t + i\sin\beta t)$$

方程式的係數都是實數，所以複數解的實部與虛部各自也是解（代入後實部與虛部分別等於 0）。由此得到兩個實數解 $e^{\alpha t}\cos\beta t$、$e^{\alpha t}\sin\beta t$。其解讀為：實部 $\alpha$ 決定衰減的快慢，虛部 $\beta$ 決定振盪的快慢。

$c = 0$（沒有阻尼）時 $\alpha = 0$，解是純粹的正弦波，角頻率 $\omega_0 = \sqrt{\frac{k}{m}}$，稱為自然頻率。有阻尼時振盪的角頻率 $\beta$ 比 $\omega_0$ 小。

外力與共振

盪鞦韆時若以適當的節奏施力，振幅會逐漸增大。加上週期性外力後：

$$m y'' + c y' + k y = F_0 \cos\omega t$$

這是非齊次方程式。由於線性，通解 = 齊次通解 + 任何一個特解：$y = y_h + y_p$。

有阻尼（$c > 0$）時三種 $y_h$ 都會衰減到 0，所以長期只剩 $y_p$，稱為穩態。外力是 $\cos\omega t$，可假設 $y_p$ 也以相同的 $\omega$ 振動。使用複數計算較簡潔：設 $y_p$ 是 $H e^{i\omega t}$ 的實部，代入 $m y'' + c y' + k y = F_0 e^{i\omega t}$：

$$(k - m\omega^2 + i c\omega)\,H = F_0$$

所以穩態振幅是

$$A(\omega) = \lvert H \rvert = \frac{F_0}{\sqrt{(k - m\omega^2)^2 + (c\omega)^2}}$$

共振（resonance） 是 $A(\omega)$ 的最高點。分母根號內對 $\omega^2$ 微分等於 0，得到

$$\omega_r = \sqrt{\frac{k}{m} - \frac{c^2}{2m^2}}$$

此式只有在 $c^2 < 2mk$ 時有意義；$c^2 \ge 2mk$ 時 $A(\omega)$ 從 $\omega = 0$ 起持續下降，沒有共振峰。注意共振頻率 $\omega_r$、阻尼振盪頻率 $\beta$、自然頻率 $\omega_0$ 是三個不同的數，阻尼小時三者才接近。

沒有阻尼時。 $c = 0$ 且 $\omega = \omega_0$，分母為 0，$H$ 不存在，上述假設的形式失效。此時須改設 $y_p = A\,t\sin\omega_0 t$，代入解得

$$y_p = \frac{F_0}{2m\omega_0}\,t\sin\omega_0 t$$

振幅隨時間線性增加，沒有穩態，模型預測振幅無限制增大（實際上彈簧會超出虎克定律的範圍，模型不再適用）。只要 $c > 0$，振幅即有上限，約為 $\frac{F_0}{c\,\omega_0}$（$c$ 很小時）。

$c = 0$、$\omega \ne \omega_0$ 時 穩態公式仍成立，但 $y_h$ 不衰減，兩個頻率疊加，並非單純的穩態。$\omega$ 接近 $\omega_0$ 時可觀察到振幅週期性起伏的「拍」。

重點整理

• 彈簧方程式 $my'' + cy' + ky = 0$ 來自虎克定律與牛頓第二定律；線性使解可以疊加
• 以 $e^{rt}$ 代入得到特徵方程式 $mr^2 + cr + k = 0$，判別式決定過阻尼、臨界阻尼或欠阻尼
• 重根的第二個解是 $te^{rt}$；複根 $\alpha \pm \beta i$ 由歐拉公式變成 $e^{\alpha t}\cos\beta t$ 與 $e^{\alpha t}\sin\beta t$，$\alpha$ 決定衰減、$\beta$ 決定振盪
• 非齊次方程式的通解是 $y_h + y_p$；有阻尼時 $y_h$ 衰減，只剩穩態
• 穩態振幅 $A(\omega) = \frac{F_0}{\sqrt{(k-m\omega^2)^2 + (c\omega)^2}}$；$c^2 < 2mk$ 時才有共振峰
• $c = 0$ 共振時振幅線性增加，$c > 0$ 時振幅有限

本課是微積分軌的最後一個單元。一階、二階微分方程的方法在物理、電路與控制系統中反覆出現：電路的 RLC 方程式與本課的形式完全相同。