格林定理、散度與旋度

環量與格林定理

將一塊矩形區域切成許多小方格，每一格都沿邊界逆時針繞一圈計算線積分（這種繞圈的線積分稱為環量，circulation）。以下考慮所有小方格環量的總和。

相鄰兩格共用的邊，在一格中向上，在另一格中向下。同一條邊經過兩次且方向相反，線積分恰好抵銷。內部所有的邊皆如此，只有最外圈未被抵銷。所以

$$\text{所有小方格的環量總和} = \text{外圈邊界的線積分}$$

接著計算一個很小的方格的環量。考慮左下角 $(x, y)$、邊長 $\Delta x$、$\Delta y$ 的小格。上下兩條邊的 $P$ 貢獻是 $P(x, y)\Delta x - P(x, y + \Delta y)\Delta x \approx -P_y\,\Delta x\,\Delta y$；左右兩條邊的 $Q$ 貢獻是 $Q(x + \Delta x, y)\Delta y - Q(x, y)\Delta y \approx Q_x\,\Delta x\,\Delta y$。合併得：

$$\text{小方格的環量} \approx (Q_x - P_y)\,\Delta x\,\Delta y$$

$Q_x - P_y$ 即為單位面積的環量。將小方格相加並取極限，得到格林定理（Green's theorem）：

$$\oint_C P\,dx + Q\,dy = \iint_D (Q_x - P_y)\,dA$$

定理的條件如下：

• $C$ 是逆時針（正向）的簡單封閉、分段平滑曲線，$D$ 是它圍住的區域。沿曲線前進時區域位於左側；順時針時相差一個負號
• $C$ 是簡單封閉曲線，所以 $D$ 是沒有洞的單連通區域
• $P$、$Q$ 在一個包含 $D$ 的開區域上有連續的偏導數。$D$ 內不可有場未定義的點

例如 $\mathbf{F} = (-y^2, xy)$，$Q_x - P_y = y + 2y = 3y$。在 $-1 \le x \le 1$、$0.5 \le y \le 2.5$ 上，$\iint 3y\,dA = 2 \cdot 3 \cdot \frac{2.5^2 - 0.5^2}{2} = 18$。

一個實用的結果：取 $P = -\frac{y}{2}$、$Q = \frac{x}{2}$，$Q_x - P_y = 1$，所以面積是

$$\text{面積} = \frac{1}{2}\oint_C x\,dy - y\,dx$$

橢圓 $(a\cos t, b\sin t)$ 代入得 $\frac{1}{2}\int_0^{2\pi} ab\,dt = \pi ab$。計算多邊形面積的鞋帶公式是此式的特例。

旋度與散度

$Q_x - P_y$ 度量一點附近繞圈的傾向，稱為旋度（curl）。在流場中放置一個很小的槳輪，其角速度恰為旋度的一半；旋度為正時逆時針旋轉。

旋度的判斷不取決於場是否繞圈，以下是兩個容易誤判的例子：

• 剪切流 $\mathbf{F} = (y, 0)$：箭頭皆為水平直線，旋度卻是 $0 - 1 = -1$。槳輪上方的水流比下方快，所以順時針旋轉
• 繞原點的場 $(\frac{-y}{x^2+y^2}, \frac{x}{x^2+y^2})$：箭頭呈繞圈狀，旋度卻處處為 0（原點以外）。外側流速慢、內側流速快，恰與整體繞圈抵銷，槳輪繞原點移動，本身不旋轉

另一個量是散度（divergence）：$\text{div}\,\mathbf{F} = P_x + Q_y$，度量一點附近單位面積向外流出的量。為正時稱為源（source），流出多於流入；為負時稱為匯（sink）。例如 $(x, y)$ 的散度處處為 2，每一點都向外流出，旋度為 0。

格林定理的通量形式：將切線換成向外的法向量 $\mathbf{n}$，穿過邊界向外的總流量（通量，flux）等於內部散度的總和：

$$\oint_C \mathbf{F} \cdot \mathbf{n}\,ds = \iint_D (P_x + Q_y)\,dA$$

推導方式是將格林定理套用於向量場 $(-Q, P)$（$\mathbf{n}\,ds = (dy, -dx)$）。半徑 $R$ 的圓盤上，$(x, y)$ 的通量是 $2 \cdot \pi R^2$。

斯托克斯定理與散度定理

三維向量場 $\mathbf{F} = (P, Q, R)$ 的旋度和散度寫成

$$\nabla \times \mathbf{F} = (R_y - Q_z,\ P_z - R_x,\ Q_x - P_y)$$

$$\nabla \cdot \mathbf{F} = P_x + Q_y + R_z$$

此時旋度是向量：方向是槳輪的轉軸，第三個分量即平面上的 $Q_x - P_y$。

斯托克斯定理（Stokes' theorem）：曲面 $S$ 的邊界是曲線 $C$，兩者方向以右手定則配對（四指沿 $C$，拇指朝 $\mathbf{n}$），$\mathbf{F}$ 有連續的偏導數，則

$$\oint_C \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} = \iint_S (\nabla \times \mathbf{F}) \cdot \mathbf{n}\,dS$$

平面區域是它的特例，即格林定理。概念亦相同：將曲面切成小塊，各小塊的環量相加，內部抵銷。

值得注意的是右邊只取決於邊界：同一個圓，以半球面或平的圓盤為曲面，結果相同。例如 $\mathbf{F} = (-y, x, 0)$，$\nabla \times \mathbf{F} = (0, 0, 2)$，半徑 $R$ 的圓上線積分是 $2\pi R^2$。

散度定理（divergence theorem）：封閉曲面 $S$ 圍住立體 $E$，$\mathbf{n}$ 朝外，$\mathbf{F}$ 有連續的偏導數，則

$$\oiint_S \mathbf{F} \cdot \mathbf{n}\,dS = \iiint_E (\nabla \cdot \mathbf{F})\,dV$$

例如 $\mathbf{F} = (x, y, z)$，半徑 $R$ 的球：左邊 $\mathbf{F} \cdot \mathbf{n} = R$，乘上表面積 $4\pi R^2$ 是 $4\pi R^3$；右邊散度是 3，乘上體積 $\frac{4}{3}\pi R^3$ 也是 $4\pi R^3$。

兩個常用的恆等式（二階偏導數連續時）：$\nabla \times (\nabla f) = 0$，梯度場沒有旋度；$\nabla \cdot (\nabla \times \mathbf{F}) = 0$，旋度場沒有散度。

這些定理具有相同的概念：邊界上的累積等於內部變化率的總和：

重點整理

• 格林定理：$\oint_C P\,dx + Q\,dy = \iint_D (Q_x - P_y)\,dA$，$C$ 逆時針、區域內 $P$、$Q$ 的偏導數連續；有洞或奇異點時不能直接使用
• 內部的邊經過兩次且方向相反，抵銷後只剩外圈
• 旋度是單位面積的環量，槳輪角速度是它的一半；場是否繞圈不是判斷依據
• 散度是單位面積向外流出的量；$\oint \mathbf{F} \cdot \mathbf{n}\,ds = \iint (P_x + Q_y)\,dA$
• 斯托克斯定理與散度定理是三維版本，都是「邊界等於內部」

下一課回到單變數，以微分方程描述彈簧與振動。