單位、估算與向量

物理量與單位

考慮以下說法：全校學生一天喝掉的水，可以裝滿一座游泳池。

判斷這個說法需要三項工具：共同的單位、適度的估算，以及對答案精確程度的掌握。這三項工具也是整門物理學的基礎。

物理量是數字乘上單位。「長度 3」沒有意義，「3 公尺」才有意義。國際單位制（SI）選定七個基本單位，其他單位皆由這七個單位組合而成，例如力的單位牛頓是 $\text{N} = \text{kg}\cdot\text{m/s}^2$。

自 2019 年 5 月 20 日起，七個單位全部由固定數值的常數定義：這次修訂的是公斤、安培、克耳文、莫耳，秒、公尺、燭光先前已採此方式。其中變動最大的是公斤：此前超過一個世紀，1 公斤定義為巴黎近郊一塊鉑銥合金圓柱的質量，該圓柱的質量若改變，定義也隨之改變。改用普朗克常數之後，任何實驗室原則上都能以自己的儀器實現公斤，無須與該金屬塊比對。日常量測到的 1 公斤並未因此改變。

因次分析

每個力學量都可以寫成質量 $M$、長度 $L$、時間 $T$ 的組合，此組合稱為因次。速度是 $L\,T^{-1}$，加速度是 $L\,T^{-2}$，力是 $M\,L\,T^{-2}$。

基本規則是：等號兩邊以及相加的每一項，因次必須相同。公尺與秒不能相加。

例如 $x = v t^2$。右邊的因次是 $L\,T^{-1}\cdot T^2 = L\,T$，左邊是 $L$，兩邊不同，因此這條公式必定錯誤，無須知道其物理意義。

因次也可以反向使用：假設單擺的週期只和擺長 $L$、重力加速度 $g$、擺錘質量 $m$ 有關，寫成 $T_p = C\,L^a g^b m^c$，再要求兩邊因次相同，即可解出指數。下面的互動練習示範這個方法。

數量級估算

回到開頭的說法。估算不必查閱資料，只要將問題拆解為幾個已知大致範圍的數字連乘：

$$\text{一天的總量} = \text{人數} \times \text{每人每天的量}$$

每個數字相差兩倍，只使結果在對數尺上移動約 0.3 格，靠近分界時數量級可能改變一級，因此估算關注的是答案大約落在哪個 10 的次方，稱為數量級。常用的規則是將數字寫成科學記號後，取最接近的 10 的次方：$\log_{10}$ 四捨五入，亦即以 $\sqrt{10} \approx 3.16$ 為界。因此 40 的數量級為 $10^2$，3 的數量級為 $10^0$。

以下假設人數為 2 萬人、每人每天 2 公升，這些是為估算而設定的數字，並非任何學校的資料。泳池以長 50 公尺、寬 25 公尺、深 2 公尺計算。

有效數字

開頭的說法至此可以判斷：一天 40 立方公尺，裝滿泳池需要兩個月左右，與「一天裝滿」相差將近兩個數量級。

估算結果只保留一兩位有效數字，因為假設本身的精確度僅止於此。量測亦然：尺上讀數 $1.50\ \text{m}$ 表示確定到公分，有 3 位有效數字；寫成 $1.5\ \text{m}$ 則只有 2 位。

計算時的慣用規則：

• 乘除：結果的有效位數，取決於位數最少的數。$2.5 \times 1.23 = 3.075$，寫作 $3.1$
• 加減：結果的小數位數，取決於小數位數最少的數。$12.3 + 0.456 = 12.756$，寫作 $12.8$
• 計算過程多保留幾位，最後才四捨五入，不在中途捨去

計算機顯示 8 位數，不代表結果精確到 8 位。上述規則只是快速的近似，更嚴謹的做法是傳遞不確定度，請參閱讀本的量測與不確定度。

向量與純量

從宿舍往東走 300 公尺，再往北走 400 公尺，與宿舍的距離不是 700 公尺，而是 500 公尺。位移不只有大小，還有方向，必須依方向相加，這種量稱為向量。速度、力也是向量。質量、時間、溫度只有大小，稱為純量。

向量以箭頭表示，加法採「頭接尾」：將第二支箭的尾端接到第一支箭的尖端。作圖不便於計算，因此改用分量：將向量投影到 $x$、$y$ 兩個方向，以單位向量 $\hat{i}$、$\hat{j}$（長度為 1，只表示方向）寫成

$$\vec{A} = A_x\hat{i} + A_y\hat{j}$$

相加時，各方向的分量分別相加：

$$\vec{R} = \vec{A} + \vec{B} = (A_x + B_x)\hat{i} + (A_y + B_y)\hat{j}$$

大小由畢氏定理求得，方向由反正切求得，從 $+x$ 軸逆時針量起：

$$\lvert\vec{R}\rvert = \sqrt{R_x^2 + R_y^2},\quad \tan\theta = \frac{R_y}{R_x}$$

注意反正切只給出 $-90^\circ$ 到 $90^\circ$ 的值。$R_x$ 為負時，向量位於左半平面，須再加 $180^\circ$。

微積分軌的向量、內積與外積進一步討論三維向量。

斜軸分解

座標軸可以自由選擇。向量本身不因座標改變，改變的只有分量。物理問題常有一個自然的方向，例如斜面：物體沿斜面運動，因此將重力分解到「沿斜面」和「垂直斜面」兩個方向最便於計算。

向量 $\vec{F}$ 和斜軸的夾角是 $\alpha$ 時：

$$F_\parallel = F\cos\alpha,\quad F_\perp = F\sin\alpha$$

這兩個分量互相垂直，因此 $F_\parallel^2 + F_\perp^2 = F^2$ 恆成立，下方小工具的數值列會同步驗算。

「斜面用 sin、垂直用 cos」不宜死記，因為這取決於 $\alpha$ 的量法。應先確定向量與該軸的夾角，再選用 sin 或 cos。

重點整理

• 物理量是數字乘單位。SI 七個基本單位自 2019 年 5 月 20 日起全部由固定數值的常數定義
• 因次不合的公式必定錯誤；因次相合的公式不一定正確，因為因次分析無法檢出純數字係數
• 估算將問題拆解為幾個數字連乘，答案只保留一兩位有效數字；乘除看有效位數，加減看小數位數
• 向量相加是分量各自相加。大小用畢氏定理，方向用反正切，要注意象限
• 分解的軸可以自由選擇，應先確定向量與軸的夾角，再選用 sin 或 cos

下一課以這些工具描述直線運動：位置、速度、加速度三張圖。