向量、內積與外積

向量的定義與運算

從校門到圖書館，向東 3 百公尺、向北 4 百公尺；再從圖書館到餐廳，向東 2 百公尺、向南 1 百公尺。不論校門位於何處，這兩段路程都可寫成 $(3, 4)$ 和 $(2, -1)$，相接後為 $(3+2, 4-1) = (5, 3)$。

向量（vector）記錄的是這種兼具方向與距離的量。它只描述位移，與起點無關：箭頭平移後仍是同一個向量。三維空間的向量有三個分量 $u = (u_1, u_2, u_3)$。

• 加法：分量各自相加，幾何上是箭頭頭尾相接
• 數乘：$c\,u = (c u_1, c u_2, c u_3)$，$c$ 為負數時方向相反
• 線性組合：$a\,u + b\,v$，$a$、$b$ 是數字。不平行的 $u$、$v$ 調整 $a$、$b$ 可涵蓋它們張成的平面
• 長度：$\lvert u \rvert = \sqrt{u_1^2 + u_2^2 + u_3^2}$，由畢氏定理使用兩次得到。例如 $\lvert (1, 2, 2) \rvert = \sqrt{1+4+4} = 3$

下一步討論如何僅由分量計算兩個向量之間的夾角。

內積的兩種定義

內積（dot product）有兩種寫法：

$$u \cdot v = u_1 v_1 + u_2 v_2 + u_3 v_3$$

$$u \cdot v = \lvert u \rvert \lvert v \rvert \cos\theta$$

$\theta$ 是兩個箭頭起點重合時的夾角，$0 \le \theta \le \pi$。第一種便於計算，第二種具有幾何意義。兩者相等可由餘弦定理證明。$u$、$v$、$u-v$ 圍成三角形，所以

$$\lvert u - v \rvert^2 = \lvert u \rvert^2 + \lvert v \rvert^2 - 2 \lvert u \rvert \lvert v \rvert \cos\theta$$

左邊用分量展開：

$$\begin{aligned}\lvert u - v \rvert^2 &= \sum_i (u_i - v_i)^2 \\ &= \lvert u \rvert^2 + \lvert v \rvert^2 - 2\sum_i u_i v_i\end{aligned}$$

比較兩式，消去 $\lvert u \rvert^2 + \lvert v \rvert^2$，即得 $u_1 v_1 + u_2 v_2 + u_3 v_3 = \lvert u \rvert \lvert v \rvert \cos\theta$。

內積的正負號對應夾角的類型：大於 0 是銳角，等於 0 是垂直，小於 0 是鈍角。所以兩個非零向量垂直，等價於內積為 0。

投影：$v$ 在 $u$ 方向上的分量為 $\lvert v \rvert \cos\theta$。以內積改寫，

$$\text{純量投影} = \frac{u \cdot v}{\lvert u \rvert}, \qquad \text{投影向量} = \frac{u \cdot v}{\lvert u \rvert^2}\,u$$

例如 $u = (3, 4, 0)$、$v = (2, 1, 2)$：$u \cdot v = 10$、$\lvert u \rvert = 5$，純量投影是 2，投影向量是 $\frac{2}{5}(3, 4, 0) = (\frac{6}{5}, \frac{8}{5}, 0)$。

物理中的功即為內積：推車的力 $F = (3, 4, 0)$ 牛頓，車子位移 $d = (5, 0, 0)$ 公尺，做功 $F \cdot d = 15$ 焦耳，只有沿位移方向的分力才計入。

外積

內積將兩個向量變成一個數。外積（cross product）只在三維空間定義，它將兩個向量變成第三個向量：

$$u \times v = \begin{pmatrix} u_2 v_3 - u_3 v_2 \\ u_3 v_1 - u_1 v_3 \\ u_1 v_2 - u_2 v_1 \end{pmatrix}$$

例如 $u = (1, 2, 0)$、$v = (0, 1, 3)$：

$$u \times v = \begin{pmatrix} 2 \cdot 3 - 0 \cdot 1 \\ 0 \cdot 0 - 1 \cdot 3 \\ 1 \cdot 1 - 2 \cdot 0 \end{pmatrix} = (6, -3, 1)$$

可直接驗算它與 $u$、$v$ 都垂直：$(6, -3, 1) \cdot (1, 2, 0) = 0$，$(6, -3, 1) \cdot (0, 1, 3) = 0$。它有三個性質：

• 方向：同時垂直 $u$ 和 $v$；由右手定則決定方向（四指從 $u$ 轉向 $v$，拇指的方向）
• 長度：$\lvert u \times v \rvert = \lvert u \rvert \lvert v \rvert \sin\theta$，等於 $u$、$v$ 張成的平行四邊形面積。上面的例子面積是 $\sqrt{36+9+1} = \sqrt{46}$
• 平行時為零：$\theta = 0$ 或 $\pi$ 時 $\sin\theta = 0$，兩個向量平行，平行四邊形退化

外積的運算規則與數的運算不同，須特別注意：

• 不能交換：$v \times u = -(u \times v)$，順序交換後方向相反
• 沒有結合律：$(i \times i) \times j = 0$，$i \times (i \times j) = -j$（$i = (1,0,0)$、$j = (0,1,0)$）

三重積結合內積與外積：$\lvert w \cdot (u \times v) \rvert$ 是 $u$、$v$、$w$ 張成的平行六面體體積。$u \times v$ 的長度是底面積，$w$ 投影至其方向的長度是高。例如 $(1,1,0)$、$(0,1,1)$、$(1,0,1)$ 張成的體積是 2；體積等於 0 表示三個向量落在同一個平面上。

直線與平面的向量方程式

直線：通過點 $r_0$、方向是 $d$ 的直線是 $r(t) = r_0 + t\,d$。例如過 $(1, 2, 3)$、方向 $(2, 0, -1)$：$r(t) = (1+2t,\ 2,\ 3-t)$。三維空間的直線無法僅用一個 $y = mx + b$ 的方程式表示，參數式最為自然。

平面：平面由「一個點 $r_0$ 和一個與平面垂直的方向 $n$」決定。$n$ 稱為法向量（normal vector）。平面上任一點 $r$ 和 $r_0$ 的差都在平面內，所以和 $n$ 垂直：

$$n \cdot (r - r_0) = 0$$

展開後為 $a x + b y + c z = d$，係數 $(a, b, c)$ 恰為法向量。

給定三個不共線的點 $P$、$Q$、$R$，法向量可由外積得到：$n = \overrightarrow{PQ} \times \overrightarrow{PR}$。例如 $P = (1,0,0)$、$Q = (0,2,0)$、$R = (0,0,3)$：

$$\overrightarrow{PQ} = (-1, 2, 0),\quad \overrightarrow{PR} = (-1, 0, 3)$$

$$n = \overrightarrow{PQ} \times \overrightarrow{PR} = (6, 3, 2)$$

平面為 $6(x-1) + 3y + 2z = 0$，亦即 $6x + 3y + 2z = 6$。三個點代入都成立。法向量乘上任何非零的數仍是法向量，所以同一個平面的方程式可相差一個倍數。

重點整理

• 向量是位移，分量相加對應箭頭頭尾相接
• 內積 $u \cdot v = \sum u_i v_i = \lvert u \rvert \lvert v \rvert \cos\theta$，兩種定義由餘弦定理連結；非零向量垂直等價於內積為 0
• $v$ 在 $u$ 方向的純量投影是 $\frac{u \cdot v}{\lvert u \rvert}$
• 外積 $u \times v$ 同時垂直 $u$、$v$，長度是平行四邊形面積；$v \times u = -(u \times v)$，也沒有結合律
• 三重積的絕對值 $\lvert w \cdot (u \times v) \rvert$ 是平行六面體體積
• 直線 $r_0 + t\,d$；平面 $n \cdot (r - r_0) = 0$，$n$ 可由外積求得

下一課討論隨時間變化的向量：位置是 $t$ 的函數，其導數即為速度向量。