直線運動

路程、位移與速度

從宿舍騎腳踏車往東 600 公尺，接著往回騎 200 公尺後停下，全程花費 200 秒。

• 路程是實際行經的長度：$600 + 200 = 800$ 公尺
• 位移是終點減起點，有方向：往東 $600 - 200 = 400$ 公尺

速度也因此分成兩種：

$$\text{平均速率} = \frac{\text{路程}}{\text{時間}} = 4\ \text{m/s},\qquad \text{平均速度} = \frac{\text{位移}}{\text{時間}} = 2\ \text{m/s（往東）}$$

若騎回原點，位移為 0，平均速度也為 0，但路程並不為零。

平均值只取決於起點與終點，無法反映中間的過程。將時間間隔縮小到趨近 0，即得某一瞬間的瞬時速度：

$$v = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta x}{\Delta t} = \frac{dx}{dt}$$

瞬時速度等於 $x$-$t$ 圖上該點切線的斜率，微積分軌的導數與切線討論此概念。加速度是速度對時間的變化率，$a = dv/dt$，亦即 $v$-$t$ 圖的斜率。

加速度的方向取決於速度的變化，而非速度的方向。 向東行進且逐漸減速時，速度向東，加速度向西。

運動圖的斜率與面積

上述三張圖之間有兩個固定的關係：

面積等於位移的原因如下：將時間分割為許多小段 $\Delta t$，每一小段的位移約為 $v\,\Delta t$，恰為一條細長方形的面積。將全部相加，分割越細越精確，其極限即定積分：

$$\Delta x = \int_{t_1}^{t_2} v\,dt$$

積分即各小段貢獻的總和，詳細過程見微積分軌的黎曼和與定積分。小工具計算 $x(t)$ 採用同一方法：將 10 秒分割為 800 段相加。

等加速度公式的推導

加速度 $a$ 固定不變時，經兩次積分即可得到全部公式。

速度是加速度的累積，$a$ 是常數，因此：

$$v = v_0 + a t$$

位置是速度的累積，將上式從 $0$ 積分到 $t$（亦即 $v$-$t$ 圖下的梯形面積）：

$$x = x_0 + v_0 t + \frac{1}{2} a t^2$$

$v$ 隨時間線性變化，因此平均速度恰為初末速度的平均，由梯形面積也可寫成：

$$x - x_0 = \frac{1}{2}(v_0 + v)\,t$$

最後，由第一條解出 $t = (v - v_0)/a$，代入上一條以消去時間：

$$v^2 = v_0^2 + 2a(x - x_0)$$

這四條公式只在加速度固定時成立。 前述折線 $v$-$t$ 圖無法整段直接套用，只能分段計算，或直接計算面積。

自由落體

只受重力時，靠近地表的物體有固定的向下加速度 $g \approx 9.8\ \text{m/s}^2$，因此前述公式皆適用。此處有兩項須說明的條件：

1. 與質量無關的前提是只受重力。 空氣中羽毛落得比鐵鎚慢，原因是空氣阻力，並非羽毛較輕。阿波羅 15 號任務的最後一次月球漫步，太空人 David Scott 在幾乎沒有空氣的月面同時放開鐵鎚和羽毛，兩者同時落地。與質量無關的原因，將於第 4 課以牛頓第二定律解釋。
2. $g$ 不是嚴格的常數。 其值隨高度與地點略有不同；本課程採用的 9.8 是地表附近的近似值。

常見迷思：速度為 0 時加速度也為 0。 球向上拋出，到達最高點的瞬間速度為 0。若此時加速度也為 0，速度將不再改變，球會停在半空中。實際上重力全程作用，$a$ 始終是 $g$ 向下。速度與加速度是兩個獨立的量：$v$ 表示當下的運動快慢與方向，$a$ 表示 $v$ 的變化率。

重點整理

• 位移是終點減起點、有方向；路程是行經的總長度。平均速度用位移，平均速率用路程
• $v = dx/dt$ 是 $x$-$t$ 圖的斜率，$a = dv/dt$ 是 $v$-$t$ 圖的斜率；$v$-$t$ 圖下的面積（下方為負）是位移
• 僅在加速度固定時適用：$v = v_0 + at$，$x = x_0 + v_0 t + \frac{1}{2} a t^2$，$x - x_0 = \frac{1}{2}(v_0 + v)t$，$v^2 = v_0^2 + 2a(x - x_0)$
• 減速度相同時，煞車距離和初速平方成正比
• 只受重力時，加速度和質量無關；最高點速度是 0，加速度仍是 $g$ 向下

下一課將運動擴展到二維：拋體運動。更多情況請參閱讀本的運動學。