拋體運動

水平與鉛直運動的獨立性

在桌邊將一顆球水平彈出，另一顆同時從相同高度釋放。不計空氣阻力時，兩顆球同時落地；水平飛行的距離不影響落地時間。

這個現象說明拋體運動的關鍵性質：水平和鉛直兩個方向可以分開計算。重力只有鉛直方向，因此：

• 水平方向沒有力，$v_x$ 不變，是等速度運動
• 鉛直方向只有重力，加速度是 $-g$（$g = 9.8\ \text{m/s}^2$），與上一課的等加速度運動完全相同

設初速 $v_0$、仰角 $\theta$，將初速分解為 $v_{0x} = v_0\cos\theta$、$v_{0y} = v_0\sin\theta$，兩個方向分別寫出：

$$x(t) = v_0\cos\theta\ t$$

$$y(t) = v_0\sin\theta\ t - \frac{1}{2}g t^2$$

射程公式與 45 度仰角

從某一高度發射並落回同一高度時，令 $y(t) = 0$：

$$t\left(v_0\sin\theta - \frac{1}{2}g t\right) = 0$$

$t = 0$ 對應發射時刻，另一解為飛行時間 $T = \frac{2 v_0\sin\theta}{g}$。代入 $x(t)$，再利用 $2\sin\theta\cos\theta = \sin 2\theta$：

$$R = \frac{v_0^2 \sin 2\theta}{g}$$

由此式可得兩項結論：

1. $\sin 2\theta$ 的最大值為 1，出現在 $\theta = 45^\circ$，因此同高度、沒有空氣阻力時 45 度射程最遠
2. $\sin 2\theta = \sin(180^\circ - 2\theta)$，因此 $\theta$ 和 $90^\circ - \theta$ 的射程相同。低角度的軌跡平緩、飛行時間短；高角度的軌跡高、飛行時間長

適用條件為起點與落點同高，且不計空氣阻力。起點高於落點時，最佳角度小於 45 度。

空氣阻力的影響

空氣阻力的大小約與速度平方成正比，方向與運動方向相反。此時水平方向不再是等速度，兩個方向也無法分開計算：阻力的分量同時取決於 $v_x$ 和 $v_y$。

此時方程式沒有簡單的公式解，只能以數值方法分小段計算。下方小工具採用每單位質量的阻力 $k v^2$，$k = 0.006\ \text{m}^{-1}$，此為示意值，與依棒球尺寸估算的量級相近。真實的球還受旋轉與表面影響，此處未納入計算。

程式計算的結果如下：

速度越快，阻力的影響越大：初速加倍時，無阻力的射程變為 4 倍，有阻力的射程則不到 3 倍。

重點整理

• 拋體運動可分解為水平的等速度與鉛直的等加速度，兩個方向僅共用時間
• 同高度、無阻力時：$T = \frac{2v_0\sin\theta}{g}$，$H = \frac{(v_0\sin\theta)^2}{2g}$，$R = \frac{v_0^2\sin 2\theta}{g}$
• 同一射程通常對應 $\theta$ 和 $90^\circ - \theta$ 兩個角度；45 度射程最遠有其前提
• 與 $v^2$ 成正比的空氣阻力使兩個方向互相影響，射程變短，最佳角度小於 45 度，須以數值計算

下一課探討這些加速度的來源：力與牛頓定律。若要調整更多參數，可使用 Uedu Science 的拋體運動模擬。