牛頓運動定律

慣性與牛頓第一定律

推動桌上的書，書滑行一段距離後停止。直覺的解釋是「持續受力，物體才會持續運動」。亞里斯多德的物理學傳統也接近這個看法：除了落下這類「自然運動」，物體須有外物持續推動才能維持運動。這個直覺與日常經驗相符。

伽利略提出另一種想法：使球從斜面滾下，再滾上對面的斜面。接觸面越光滑，球越接近回到原來的高度。將對面的斜面放得越平緩，球須行經越遠才能回到該高度。若斜面完全水平，球永遠無法回到該高度，將持續運動下去。他在 1638 年出版的《兩門新科學》中寫道：在水平面上，只要沒有造成加速或減速的外因，物體獲得的速度就會維持下去。其後牛頓將此寫成一般性的定律。

因此書會停止，原因是摩擦力，而非力已耗盡。需要解釋的不是物體為何繼續運動，而是運動狀態為何改變。

牛頓第一定律：物體所受合力為零時，保持靜止或等速直線運動。 這條定律同時界定了其適用的參考座標：定律成立的座標稱為慣性座標系。地面近似為慣性座標（地球自轉的影響很小）；在煞車中的公車上觀察，桌上的書未受水平力卻向前滑，因此該座標不是慣性座標。

牛頓第二定律與受力圖

第二定律連結力與運動：

$$\vec{F}_{\text{合}} = m\vec{a}$$

須注意以下三點：

1. 這是向量方程式，等同於每個方向各一條：$F_{x} = m a_x$、$F_{y} = m a_y$。各方向可分開求解
2. 左邊是合力，是所有力的向量和，而非其中某一個力
3. 力決定的是加速度，不是速度。 力可以朝東，而物體同時向西運動（正在煞車）。合力為零時，速度可以是任何值，只是不再改變

單位由這條定律定義：$1\ \text{N} = 1\ \text{kg}\cdot\text{m/s}^2$，亦即使 1 公斤的物體產生 $1\ \text{m/s}^2$ 加速度的力。

受力圖是解題的第一步：只畫一個物體，並畫出作用在該物體上的每一個力。判斷有哪些力時，可檢查以下兩項：

• 有哪些物體接觸它（手、繩子、桌面、地板才能施力）
• 是否有不必接觸的力（本課只有重力）

沒有施力者的力不應畫出。「球飛出後仍有一個向前的力」是最常見的錯誤。

牛頓第三定律

第三定律：甲對乙施力時，乙同時對甲施一個大小相等、方向相反的力。

書放在桌上時，須區分以下四個力：

第三定律的配對是 F1 和 F2、F3 和 F4：同一種力、互相作用的兩個物體。

F1 和 F3 也是大小相等、方向相反，但兩者都作用在書上，並非配對。兩者相等的原因是書的加速度為零（第二定律），與第三定律無關。

驗證方法是使加速度不為零。將整張桌子放入正在加速的電梯，F1 和 F3 即不再相等，但 F1 和 F2、F3 和 F4 永遠相等。

常見的疑問是：作用力和反作用力既然永遠相等，馬如何拉動車。這兩個力作用在不同物體上，不能互相抵消。車是否運動，只取決於車本身所受的合力。

質量、重量與視重

質量是物體抗拒加速度的程度，單位為公斤，同一物體在任何地點皆相同。重量是重力的大小 $W = mg$，單位為牛頓，在月球上會變小。日常所說的「體重 60 公斤」指的是質量。

體重計量測的不是重力，而是它對人的推力，亦即正向力 $N$。以人為受力圖的對象，向上為正：

$$N - mg = ma \quad\Rightarrow\quad N = m(g + a)$$

• $a$ 向上：$N > mg$，感覺變重
• $a$ 向下：$N < mg$，感覺變輕
• 等速（無論向上或向下）：$a = 0$，$N = mg$，與靜止時相同
• $a = g$ 向下：$N = 0$，體重計讀數為 0。人與體重計一起自由落下，彼此沒有推力

此讀數 $N$ 稱為視重。讀數為 0 不代表沒有重力：重力始終是 $mg$，向下的加速度正是由重力造成。

須特別注意：讀數取決於加速度的方向，而非運動方向。電梯向下運行、即將停於一樓時，速度向下但正在減小，加速度向上，因此人感覺變重。

重點整理

• 維持等速運動不需要力；合力為零時物體靜止或等速。這只在慣性座標系成立
• $\vec{F}_{\text{合}} = m\vec{a}$ 是向量方程式。力決定加速度，不決定速度
• 受力圖只畫一個物體，每個力都須有明確的施力者
• 第三定律的兩個力作用在不同物體上，永遠相等；平衡的兩個力作用在同一個物體上，只有加速度為零時才相等
• 重量是重力，視重是正向力：$N = m(g + a)$，取決於加速度方向，而非運動方向

下一課納入摩擦力與繩子。延伸閱讀請參閱讀本的牛頓運動定律。