摩擦力、張力與斜面

靜摩擦力與動摩擦力

以水平力推沙發而沙發未動時，推力 100 N 對應的摩擦力為 100 N；推力 150 N 仍未動時，摩擦力變為 150 N。沙發靜止，合力為零，摩擦力隨推力調整。

靜摩擦力會調整，但有上限：

$$f_s \le \mu_s N$$

這是不等式。$\mu_s N$ 是最大值，只在即將滑動時才適用。將靜摩擦直接寫成 $\mu_s N$ 是最常見的錯誤。

一旦滑動，即為動摩擦力，方向與相對滑動方向相反，大小近似固定：

$$f_k = \mu_k N$$

通常 $\mu_k < \mu_s$，因此開始推動時所需的力較大，運動後所需的力較小。這兩條是實驗歸納的近似關係，不是基本定律：實際的係數與材料、表面狀況有關。以下使用的係數皆為示意值。

摩擦力取決於正向力 $N$，而非重量。 平地上兩者相等；斜面上不相等，下一段將計算此情形。

斜面上的力與座標軸選擇

木塊置於傾角 $\theta$ 的斜面上。物體只沿斜面運動，因此座標軸取沿斜面與垂直斜面兩個方向。第一課已介紹重力的分解：

• 沿斜面向下：$mg\sin\theta$
• 垂直斜面：$mg\cos\theta$

垂直斜面方向沒有加速度，因此正向力只需抵消此分量：

$$N = mg\cos\theta$$

尚未滑動時，靜摩擦恰好抵消沿斜面的分量：$f_s = mg\sin\theta$。

即將滑動時，靜摩擦達到上限：$mg\sin\theta_c = \mu_s mg\cos\theta_c$，質量消去得

$$\tan\theta_c = \mu_s$$

開始滑動的角度與質量無關。由此可得一種量測摩擦係數的方法：不需測力，只要緩慢抬高板子。

滑動時，沿斜面的合力造成加速度：

$$a = g(\sin\theta - \mu_k\cos\theta)$$

繩子與連結物體

繩子只能拉不能推，其拉力稱為張力。解題時常用兩個理想化條件，須了解其含義：

• 繩子沒有質量：同一條繩子上張力處處相同。若繩子有質量，繩子本身也需要合力才能加速，兩端張力即不同
• 繩子不會伸長：兩端的物體速率相同，加速度大小相同
• 滑輪也假設沒有質量、沒有摩擦，只改變力的方向

解法是每個物體各畫一張受力圖、各列一條方程式。阿特伍德機（$m_2 > m_1$，繩子跨過滑輪）：

$$m_2 g - T = m_2 a$$ $$T - m_1 g = m_1 a$$

兩式相加，消去 $T$：

$$a = \frac{m_2 - m_1}{m_1 + m_2}\,g$$

將 $a$ 代回其中一式即得 $T$。注意淨力僅為 $(m_2 - m_1)g$，卻須同時加速兩個物體，因此分母是總質量。

張力不是 $m_2 g$。若 $T = m_2 g$，$m_2$ 所受合力為零，不會加速。實際上 $T$ 介於 $m_1 g$ 和 $m_2 g$ 之間。

空氣阻力與終端速度

從飛機跳下時，速度不會持續增加。空氣阻力隨速度增大，在高速下約與速度平方成正比：

$$D = k v^2$$

其中 $k$ 由物體的形狀、截面積與空氣密度決定，也是實驗歸納的近似。第二定律（向下為正）：

$$m\frac{dv}{dt} = mg - k v^2$$

初始時 $v$ 很小，阻力極小，加速度接近 $g$。速度增大後阻力隨之增大，合力減小，加速度逐漸變小。阻力等於重力時，合力為零，速度不再改變，此速度稱為終端速度：

$$k v_t^2 = mg \quad\Rightarrow\quad v_t = \sqrt{\frac{mg}{k}}$$

到達終端速度時，物體仍在向下運動，只是不再加速，這正是第一定律描述的情況。

小工具以 $m = 70\ \text{kg}$、$k = 0.24\ \text{kg/m}$（示意值）算出約 $53\ \text{m/s}$，與文獻常見的趴姿跳傘約 $55\ \text{m/s}$ 同一量級。此處的 $k$ 是為符合此量級而選定，並非量測值。

此方程式的 $v$ 同時出現在兩邊。本例雖有解析解，一般情況常以數值方法逐步計算，下方動畫即採此方法。

重點整理

• 靜摩擦 $f_s \le \mu_s N$：隨外力調整，僅在即將滑動時等於上限。動摩擦 $f_k = \mu_k N$
• 斜面上 $N = mg\cos\theta$，開始滑動時 $\tan\theta_c = \mu_s$，與質量無關；滑動時 $a = g(\sin\theta - \mu_k\cos\theta)$
• 連結物體的每個物體各列一條方程式。理想繩子兩端張力相同、兩端加速度大小相同
• 阿特伍德機的張力介於兩個重力之間，不等於其中任一者
• 終端速度是阻力等於重力時的速度，$v_t = \sqrt{mg/k}$；物體仍在運動，只是合力為零

下一課討論加速度指向圓心的情況：圓周運動。若要調整更多參數，可使用 Uedu Science 的斜面模擬；另可參閱讀本的摩擦力與空氣阻力。