圓周運動

等速率圓周運動的加速度

在操場上以固定速率每秒 4 公尺繞圈時，跑者仍有加速度。

速度是向量。方向持續改變，速度即持續改變，而加速度是速度的變化率。第二課已說明應考慮向量的變化，而非僅看數值大小：

$$\vec{a} = \frac{d\vec{v}}{dt}$$

下方小工具的左側顯示球的位置與速度。右側將兩個時刻的速度接到同一起點，紅色箭頭是相減的結果 $\Delta\vec{v}$，再除以 $\Delta t$ 即平均加速度。縮小 $\Delta t$，可觀察其方向與大小所趨近的值。

向心加速度的推導

由上述右圖推導。球在圓周上轉過角度 $\Delta\theta$，由於速度恆與半徑垂直，速度向量也轉過相同角度 $\Delta\theta$。因此有兩個相似的等腰三角形：

• 位置的三角形：兩邊是 $r$，底邊是弦長，$\Delta t$ 很小時約等於弧長 $v\,\Delta t$
• 速度的三角形：兩邊是 $v$，底邊是 $\lvert\Delta\vec{v}\rvert$

相似三角形對應邊成比例：

$$\frac{\lvert\Delta\vec{v}\rvert}{v} = \frac{v\,\Delta t}{r}$$

兩邊同除以 $\Delta t$，取 $\Delta t \to 0$：

$$a = \frac{v^2}{r}$$

至於方向，$\Delta t$ 趨近 0 時，$\Delta\vec{v}$ 與 $\vec{v}$ 垂直，且指向圓內，亦即指向圓心，數值列顯示的夾角也趨近 0。此加速度稱為向心加速度。以角速度 $\omega = v/r$ 表示則為 $a = \omega^2 r$。

此推導的前提是速率固定。速率也改變時，加速度另有切線分量。微積分軌的向量函數與運動有更一般的形式。

向心力的來源

依第二定律，有 $a$ 即須有合力，因此等速率圓周運動需要指向圓心、大小為 $mv^2/r$ 的合力：

$$F_{\text{向心}} = \frac{m v^2}{r}$$

然而受力圖上不會另有一個「向心力」。向心力是一個角色的名稱：合力中指向圓心的部分。實際扮演此角色的，必定是某個有施力者的力：

月球是一個可計算的例子。NASA 的資料顯示軌道半長軸約 $3.84\times 10^8$ 公尺、公轉週期約 27.32 天。將軌道視為圓，向心加速度 $a = 4\pi^2 r/T^2 \approx 0.0027\ \text{m/s}^2$，比地表的 $g$ 小約 3600 倍，而月球的距離約為地球半徑的 60 倍。這是平方反比的線索，第 14 課將進一步討論。

將向心力視為額外的力，與其他力一併畫出，會造成重複計算。解題時一律畫出實際的力，再令指向圓心的合力等於 $mv^2/r$。

彎道的速率上限

車輛在平路轉彎時，朝內的力只有靜摩擦。此處是靜摩擦：輪胎與路面在接觸點沒有相對滑動，因此不是動摩擦。

$$f_s = \frac{m v^2}{r} \le \mu_s m g$$

因此最大安全速率為 $v_{\max} = \sqrt{\mu_s g r}$，質量消去。卡車與小客車在相同條件下的上限相同（此為簡化模型：真實的輪胎、載重與重心也有影響）。路面濕滑時 $\mu_s$ 變小，半徑小的彎道尤須減速。

將路面向內傾斜，正向力即有朝內的分量。在切面上，水平方向與鉛直方向各列一式（$f$ 朝內為正）：

$$N\sin\theta + f\cos\theta = \frac{m v^2}{r}$$ $$N\cos\theta - f\sin\theta = mg$$

完全不需要摩擦的設計速率：令 $f = 0$，兩式相除得 $\tan\theta = v^2/(rg)$。

有摩擦時，令 $f$ 達到上限 $\mu_s N$，可解出最大速率：

$$v_{\max} = \sqrt{\frac{r g(\tan\theta + \mu_s)}{1 - \mu_s\tan\theta}}$$

傾斜的路面也有速率下限：車輛停在陡坡上時，摩擦力須朝外才能維持靜止；若 $\tan\theta > \mu_s$，速率過低的車會向內滑動。

垂直圓頂點的最小速率

以繩子拉著球在鉛直平面繞圓。此時速率不再固定：上升時重力使其減速。但在任何瞬間，指向圓心的合力仍須等於 $mv^2/r$（切線方向另有一個加速度）。

在頂點，張力 $T$ 和重力都朝下，亦即都指向圓心：

$$T + mg = \frac{m v_t^2}{r}$$

繩子只能拉不能推，因此 $T \ge 0$。最小值對應 $T = 0$，此時重力單獨提供向心力：

$$v_{t,\min} = \sqrt{g r}$$

至於底部所需的速率，重力是保守力，繩子的張力與運動方向垂直而不做功，因此力學能守恆（下一單元將正式說明，此處先行使用）：

$$\frac{1}{2} m v_b^2 = \frac{1}{2} m v_t^2 + m g (2r)$$

代入 $v_t^2 = gr$，得到 $v_{b,\min} = \sqrt{5gr}$。

若速率不足，繩子並非到達頂點才鬆弛，而是在中途張力先降為零，球隨即離開圓周，做拋體運動。至於未達水平高度的球，繩子始終拉緊，球僅來回擺動。

慣性座標與轉動座標

車輛向左急轉時，乘客感覺被向右「甩」。實際情況是：身體依慣性傾向直行，由車門推動而轉彎。從路邊觀察，乘客所受的合力指向彎心，沒有任何向外的力。

然而車上的乘客相對於車輛靜止，卻受一個力推動，因而認為必有另一個力與之平衡。在轉動座標中使用第二定律時，確實須加上兩個額外的項：

• 離心項：$\omega^2 r$，由轉軸向外
• 科氏項：$2\omega v'$，僅在物體相對於轉動座標有速度時存在，方向與相對速度垂直

這兩項稱為慣性力或虛擬力：沒有施力者，也沒有第三定律的反作用力，因座標加速而出現。它們能給出正確的結果，因此在工程上很有用；但僅在轉動座標中才需要。

因此兩種描述各有適用範圍：

下方小工具以兩種方法計算同一顆球：其一是將無外力的直線運動換算到轉盤座標；其二是在轉盤座標中直接以兩個虛擬項積分。兩者的差距顯示於數值列。

重點整理

• 等速率圓周運動的速度方向持續改變，因此有加速度，指向圓心，大小為 $a = v^2/r = \omega^2 r$
• 向心力是合力的角色，不是新的力。受力圖只畫實際的力，再令指向圓心的合力等於 $mv^2/r$
• 平路彎道 $v_{\max} = \sqrt{\mu_s g r}$，與質量無關（簡化模型）；傾斜路面的設計速率 $\tan\theta = v^2/(rg)$
• 繩子拉動的垂直圓：頂點 $v_t \ge \sqrt{gr}$，底部 $v_b \ge \sqrt{5gr}$；速率不足時繩子在中途即鬆弛
• 離心力與科氏力只在轉動座標才需要；在慣性座標沒有這些力

下一單元從能量的角度討論運動：功與動能。更多例子請參閱讀本的拋體與圓周運動與非慣性座標。