動量與碰撞

動量與衝量

車禍時人的速度從 15 m/s 降為零，無論撞擊方向盤或安全氣囊，速度的改變都相同。氣囊的保護作用來自延長減速所需的時間。

牛頓第二定律可以寫成更一般的形式。定義動量 $\vec{p} = m\vec{v}$，則

$$\vec{F} = \frac{d\vec{p}}{dt}$$

對時間積分（亦即將合力在每一小段時間的效果累加），左邊稱為衝量（impulse）：

$$\vec{J} = \int \vec{F}\,dt = \Delta\vec{p}$$

$F$-$t$ 圖的面積是動量的變化。動量變化固定時，時間越長，平均力越小：

$$F_{\text{平均}} = \frac{\Delta p}{\Delta t}$$

上一課的功是力對距離的累積，對應動能；這一課的衝量是力對時間的累積，對應動量。

動量守恆的條件

兩個物體互撞時，依第三定律，兩者所受的力大小相等、方向相反，作用時間也相同，因此衝量互相抵消：

$$\Delta\vec{p}_1 + \Delta\vec{p}_2 = 0$$

推廣到一群物體：內力成對抵消，只有外力能改變總動量。

$$\frac{d\vec{P}_{\text{總}}}{dt} = \vec{F}_{\text{外}}$$

因此動量守恆的條件是合外力為 0。碰撞時外力通常不嚴格為 0（重力、摩擦依然存在），但碰撞時間很短，外力的衝量 $F_{\text{外}}\Delta t$ 遠小於碰撞力造成的動量變化，可以忽略。此近似僅適用於碰撞前後的瞬間；車輛碰撞後滑行至停止的過程中，動量由地面的摩擦帶走。

動量是向量，必須分方向計算。兩個物體動量大小相同、方向相反時，總動量是 0，動能卻不是 0。

碰撞的種類與恢復係數

碰撞時動量（幾乎）必定守恆，動能則取決於碰撞的種類。兩個物體互撞時，部分動能轉為形變、熱和聲音。恢復係數（coefficient of restitution）描述反彈的程度，定義為分離速度和接近速度的比值：

$$e = \frac{v_2' - v_1'}{v_1 - v_2}$$

動量守恆與 $e$ 的定義構成兩條方程式，恰可解出兩個未知數：

$$v_1' = \frac{m_1 v_1 + m_2 v_2 - m_2 e (v_1 - v_2)}{m_1 + m_2}$$

$$v_2' = \frac{m_1 v_1 + m_2 v_2 + m_1 e (v_1 - v_2)}{m_1 + m_2}$$

三種極端情況值得注意（彈性碰撞、靶靜止）：質量相同時速度完全交換；重者撞擊輕者時，重者幾乎不受影響，輕者以將近兩倍的速度飛出；輕者撞擊重者時，輕者反彈。

質心座標中的碰撞

質心速度 $v_{\text{cm}} = \frac{m_1 v_1 + m_2 v_2}{m_1 + m_2}$ 等於總動量除以總質量。合外力為 0 時，質心速度在碰撞前後不變。

換到隨質心移動的座標（速度全部減去 $v_{\text{cm}}$），總動量恆為 0，碰撞呈現對稱的形式：

• 兩個物體都朝質心接近，隨後遠離
• 彈性碰撞：兩個速度皆反向，大小不變
• 完全非彈性碰撞：兩者皆靜止於質心，此座標中的動能全部損失

因此可能損失的動能，只有質心座標中的部分。整體隨質心運動的動能 $\frac{1}{2}(m_1+m_2)v_{\text{cm}}^2$ 受動量守恆限制，不會因碰撞而損失。所以完全非彈性碰撞的動能「損失最多」，卻不一定損失全部的動能。

動能的值隨座標改變；動能的差值以及碰撞的種類則不因此改變。

重點整理

• 動量 $\vec{p} = m\vec{v}$，衝量 $\vec{J} = \int\vec{F}\,dt = \Delta\vec{p}$；動量變化固定時，延長時間可降低平均力
• 動量守恆的條件是合外力為 0；碰撞時間夠短時，外力的衝量可以忽略
• 恢復係數 $e$ 決定動能損失：$e = 1$ 時動能守恆，$e = 0$ 時兩者黏合
• 質心速度在碰撞中不變，只有質心座標中的動能可能損失
• 質量相同、靶靜止的彈性斜碰，碰後方向垂直

下一課將質心的概念推廣到任意一群質點，並以動量守恆推導火箭方程式。如需自由調整碰撞參數，請參閱 Uedu Science 的碰撞模擬。