質心與火箭

質心的定義

斜拋一支扳手時，扳手在飛行中同時翻滾，各部位的路徑都很複雜。然而其上存在一個點，路徑是單純的拋物線，與拋出的小球相同。這個點稱為質心（center of mass）。

一群質點的質心位置，是以質量加權的平均：

$$x_{\text{cm}} = \frac{\sum m_i x_i}{\sum m_i}$$

$y$、$z$ 方向相同。連續物體則將加總換成積分（亦即分割成許多小塊再累加）。質量分布對稱的均勻物體，質心位於對稱中心；甜甜圈的質心位於中央沒有質量之處，因此質心不一定落在物體上。

重力均勻時，質心與第 13 課討論的「重心」是同一點。

質心運動定理

對質心的定義微分兩次（第一次得到速度，第二次得到加速度），可以得到：

$$M\vec{a}_{\text{cm}} = \sum m_i\vec{a}_i = \sum \vec{F}_i$$

右邊是各質點所受的力之總和。系統內部的力依第三定律成對出現、方向相反，加總後抵消，只剩外力：

$$M\vec{a}_{\text{cm}} = \vec{F}_{\text{外}}$$

此式的意義是：質心的運動，如同全部質量集中於該點、所有外力都作用於該點。無論內力多大、物體如何翻滾變形，都不改變質心的運動。

所以：

• 扳手在空中只受重力（忽略空氣），質心沿拋物線運動
• 跳水選手在空中無論如何旋轉，質心的路徑在起跳時即已決定
• 煙火在空中爆炸，爆炸是內力。忽略空氣阻力時，碎片的質心繼續沿原本的拋物線運動，直到第一片碎片落地，因為地面的力是新的外力

總動量可由質心表示：$\vec{P} = M\vec{v}_{\text{cm}}$，因此「合外力為 0 時動量守恆」等同於「質心速度不變」。

火箭方程式

太空中沒有可供推動的物體，火箭藉由向後拋射自身的一部分質量而加速。將火箭和排出的氣體視為一個系統，內力不改變總動量。

設火箭質量 $m$、速度 $v$，在極短的時間內，排出質量 $dm_e$ 的氣體，氣體相對火箭以 $v_e$ 向後。依動量守恆（此處只考慮排氣，不計重力與空氣阻力）：

$$m\,dv = v_e\,dm_e$$

氣體增加的質量等於火箭減少的質量，因此 $dm_e = -dm$（$dm$ 是火箭質量的改變，為負值）。代入後分離變數：

$$dv = -v_e\frac{dm}{m}$$

從 $m_0$ 積分到燒完時的 $m_f$（這是分離變數的標準作法，$\int dm/m = \ln m$）：

$$\Delta v = v_e\ln\frac{m_0}{m_f}$$

此式常稱為齊奧爾科夫斯基火箭方程式。以下幾點須注意：

• 速度增量只與排氣速度和質量比有關，與燃燒快慢無關
• 自然對數增長緩慢。質量比從 10 變成 100，$\Delta v$ 才加倍
• 此處未計入重力損失和空氣阻力，真實任務所需的 $\Delta v$ 大於此理想值的計算結果

多節火箭的原理：燃料耗盡之後，空的油箱和引擎仍須隨之加速，成為多餘的負擔。分節之後，每燃燒完一節即拋棄其外殼，後續的引擎只須推動剩餘的質量。在 200 公里高的圓形軌道上速率約 7.8 km/s（第 14 課將計算），單節火箭在結構比例合理時難以獨力達到，這是分節的原因。

重點整理

• 質心是質量加權的平均位置，不一定在物體上
• $M\vec{a}_{\text{cm}} = \vec{F}_{\text{外}}$：內力不改變質心的運動，爆炸前後質心的路徑不變，直到新的外力出現
• 合外力為 0 時，動量守恆等於質心速度不變
• 火箭方程式 $\Delta v = v_e\ln(m_0/m_f)$ 由動量守恆推得，適用於不計重力與空氣阻力的情況
• 對數增長緩慢，因此須拋棄不再需要的質量：多節火箭

下一課討論物體繞軸轉動：質量的分布決定物體轉動的難易。