位能與能量守恆

保守力

雲霄飛車被拉到最高點之後即無動力，其後完全依靠重力。俯衝時加速，爬坡時減速，並能通過第二個山頭。不計摩擦與空氣阻力時，只要已知起點的速率和各點的高度，無須知道軌道的彎曲情形，即可算出每一點的速率。

這是因為重力具有一項特別的性質：重力做的功只取決於高度差，與路徑無關。沿斜坡下降或沿彎曲軌道下降，重力做的功都是 $mg\,\Delta h$。

這種力稱為保守力（conservative force）。以下兩種說法等價：

• 從 A 到 B 做的功，與路徑無關
• 繞任何封閉路徑一圈，做的功為 0

重力、彈簧力、靜電力都是保守力。動摩擦力則不是：路徑越長，摩擦做的負功越多，繞一圈回到原點也不為 0。

位能與力學能守恆

由於功只取決於起點和終點，可為每個位置定義一個數值 $U$，使功成為兩個數值的差：

$$W_{\text{保守}} = U_1 - U_2 = -\Delta U$$

負號表示：重力做正功時（物體下落），位能減少。

由定義可得幾個常用的位能：

• 地面附近的重力：$U = mgh$（只在 $g$ 可視為定值時成立，高空須使用第 14 課的式子）
• 彈簧：$U = \frac{1}{2}kx^2$，$x$ 是偏離原長的量

位能的參考點可以任選。 $h$ 從地面或從桌面算起，$U$ 的數值相差一個常數，但物理只用到差值，結果完全相同。因此談論「這顆球的位能」須先指明參考點，談論「位能變化」則不必。

結合功能定理與位能。若只有保守力做功，$K_2 - K_1 = U_1 - U_2$，移項得：

$$K_1 + U_1 = K_2 + U_2$$

$K + U$ 稱為力學能。此即力學能守恆，適用條件為：只有保守力做功。繩子張力、軌道正向力若不做功（力垂直於運動方向），也不破壞守恆。

摩擦與能量守恆

開啟摩擦後，觀察長條的「總和」：動能加位能會減少，但加上熱能，總和不變。力學能不守恆，能量仍然守恆，只是有一部分轉為接觸面和物體的內能（常稱為熱能，第 22 課將區分熱與內能）。

能量守恆的適用範圍遠大於力學能守恆：

$$K + U + E_{\text{內}} + \cdots = \text{定值}$$

小工具的簡化模型依據如下：斜面傾角為 $\theta$ 時，正向力 $N = mg\cos\theta$，動摩擦力 $f = \mu N$，行經斜邊長 $s$ 損失的能量為

$$\mu mg\cos\theta \cdot s = \mu mg\,\Delta x$$

由於 $s\cos\theta$ 即水平距離 $\Delta x$，因此直斜面上損失的能量只取決於水平距離，與傾角無關。彎道多了向心加速度，正向力與 $mg\cos\theta$ 不同，損失會有差異。

位能圖與運動

保守力與位能的關係可反向寫為對位置的微分（即位能曲線在該點的斜率）：

$$F = -\frac{dU}{dx}$$

負號表示力指向位能下降的方向。可將 $U(x)$ 想像為山坡的形狀，粒子如同置於其上的珠子，儘管實際的運動未必發生在山坡上（例如彈簧）。微分的意義可複習導數。

給定總能量 $E$，在圖上畫一條水平線 $U = E$，可直接讀出：

• 可達範圍：$K = E - U \ge 0$，粒子只能位於 $U \le E$ 的區域
• 轉折點：$U = E$ 的位置，動能為 0，粒子在此折返
• 平衡點：$dU/dx = 0$ 的位置，力為 0。谷底是穩定平衡（稍微偏離會被拉回），山頂是不穩定平衡（稍微偏離即遠離）

平衡點不代表粒子經過時會停止。粒子通過谷底時速率反而最大，僅該瞬間受力為 0。

重點整理

• 保守力：功與路徑無關，繞封閉路徑一圈的功是 0；動摩擦力不是保守力
• 位能由保守力的功定義：$W = -\Delta U$，參考點可以任選，只有差值有物理意義
• 只有保守力做功時，$K + U$ 守恆。有摩擦時力學能減少，但加上內能，總能量仍然守恆
• $F = -dU/dx$：力指向位能下降的方向
• 位能圖可讀出可達範圍、轉折點（$U = E$）、穩定與不穩定平衡（谷底與山頂）

下一課討論另一個守恆量：動量。其條件與能量不同，碰撞時動能常不守恆，動量卻仍然守恆。若要自由調整軌道，可使用 Uedu Science 的能量軌道模擬。