力矩與角動量

力矩與力臂

推門時，施力於門把附近較為省力，施力於靠近門軸處則不易推開。力的大小相同，效果卻相差甚大。若朝門軸的方向施力，無論力多大都無法使門轉動。

決定物體是否轉動的量稱為力矩（torque）。對一個轉軸，設施力點的距離為 $r$、力的大小為 $F$、兩者的夾角為 $\phi$：

$$\tau = rF\sin\phi$$

另一種表示方式更為方便：$r\sin\phi$ 恰為轉軸到力的作用線的垂直距離，稱為力臂（lever arm）$r_\perp$，因此

$$\tau = r_\perp F$$

作用線通過轉軸時，力臂是 0，力矩也是 0。單位是 N·m，與能量單位的寫法相同，但力矩不是能量，也不寫成焦耳。

力矩是向量：$\vec{\tau} = \vec{r}\times\vec{F}$，方向由右手定則決定，垂直於 $\vec{r}$ 與 $\vec{F}$ 所在的平面；固定軸問題中則沿轉軸。平面問題只需以正負號區分逆時針與順時針，此處以逆時針為正。

轉動的牛頓第二定律

質點 $m$ 繞固定軸轉動，距離為 $r$，切線方向受力 $F_t$。切線方向的牛頓第二定律：

$$F_t = m a_t = m r\alpha$$

兩邊乘以 $r$，左邊即為力矩：

$$\tau = r F_t = (mr^2)\alpha$$

對剛體，將每個質點的方程式加總。$\alpha$ 是共同的，$\sum m_i r_i^2$ 即轉動慣量。內力成對作用在同一條線上，產生的力矩互相抵消，只留下外力矩：

$$\tau_{\text{外}} = I\alpha \quad (\text{固定軸})$$

此式與 $F = ma$ 的形式完全相同：力矩造成角加速度，轉動慣量是抗拒轉動改變的程度。

角動量守恆

動量是 $\vec{p} = m\vec{v}$，轉動中的對應量是角動量（angular momentum）。對一個質點：

$$\vec{L} = \vec{r}\times\vec{p}$$

繞固定軸轉動的剛體，$L = I\omega$。角動量與力矩的關係和 $F = dp/dt$ 形式相同：

$$\vec{\tau}_{\text{外}} = \frac{d\vec{L}}{dt}$$

因此合外力矩為 0 時，角動量守恆。此守恆律不要求物體為剛體。系統內部可以改變形狀，$I$ 改變時，$\omega$ 隨之改變：

$$I_1\omega_1 = I_2\omega_2$$

坐在旋轉椅上手持重物，將手收回時轉速增加；花式滑冰選手收起手臂也是同樣的原理。

動能增加的來源。 將 $\omega = L/I$ 代入動能：

$$K = \frac{L^2}{2I}$$

$L$ 不變、$I$ 變小，$K$ 隨之變大。增加的能量來自手臂做的功：從地面（慣性座標）觀察，重物做圓周運動，需要向心力，手須向內拉；重物同時向內移動，因此力和移動方向有相同的分量，手做正功。距離 $r$ 時向心力是 $m\omega^2 r$，

$$W = \int_{r_2}^{r_1} m\omega^2 r\,dr = K_2 - K_1$$

此處手是緩慢收回的，$\omega$ 隨 $r$ 改變（$\omega = \frac{L}{I_0 + mr^2}$），不能提出積分號。下方小工具以數值積分計算此功，結果與動能的增加相等。

模型的限制：將人視為定值 $I_0$，再加上兩個點質量。真實的手臂不是點質量，椅子或冰刀也有摩擦力矩，因此角動量會逐漸流失。

陀螺進動

一個快速自轉的輪子，僅將輪軸的一端置於支點上，輪軸水平伸出。靜止的輪子會立刻落下，自轉的輪子則繞支點緩慢轉動，此現象稱為進動（precession）。

重力造成的力矩是水平的，大小 $\tau = Mgd$，$d$ 是支點到輪子質心的距離。輪子的角動量 $\vec{L}$ 沿輪軸，也是水平的，且力矩和角動量垂直。

$d\vec{L} = \vec{\tau}\,dt$ 與 $\vec{L}$ 垂直，因此只改變 $\vec{L}$ 的方向，不改變大小，如同向心力只改變速度的方向。$\vec{L}$ 在水平面上轉動，轉過的角度 $d\phi = \tau\,dt / L$，因此進動角速度為：

$$\Omega = \frac{\tau}{L} = \frac{Mgd}{I\omega}$$

自轉越快，進動越慢。自轉方向相反時，進動方向也相反。

此式是快速自轉的近似（$\Omega \ll \omega$），只計入自轉的角動量，未計入進動本身帶來的角動量。真實的陀螺還有微小的上下擺動（章動），摩擦也使其逐漸下垂。

重力並未消失。支點向上的力等於 $Mg$，鉛直方向的合力為 0，因此質心不會向下加速。

重點整理

• 力矩 $\tau = rF\sin\phi = r_\perp F$；作用線通過轉軸時力矩為 0
• 固定軸轉動的牛頓第二定律：$\tau_{\text{外}} = I\alpha$，由 $F = ma$ 推得
• $\vec{\tau}_{\text{外}} = d\vec{L}/dt$；合外力矩為 0 時，角動量守恆，$I\omega$ 不變
• 收回手臂時動能增加，來源是手臂做的功；$K = L^2/(2I)$
• 力矩垂直於角動量時，$\vec{L}$ 只改變方向：進動，$\Omega = Mgd/(I\omega)$，適用於快速自轉

下一課討論合力與合力矩皆為 0 的情況：靜力平衡。如需自由調整參數，請參閱 Uedu Science 的力矩、角動量守恆與陀螺進動模擬；讀本有更完整的陀螺與進動。