靜力平衡與彈性

靜力平衡的條件

梯子靠在牆上時保持靜止，地面、牆面和重力的作用互相抵消。梯子過斜或人爬得過高時，梯腳會突然滑出。判斷此現象發生的時機，需要兩個條件。

物體保持靜止（且不轉動），必須同時滿足：

$$\sum\vec{F} = 0 \qquad \sum\vec{\tau} = 0$$

僅滿足第一條並不足夠。兩手對書的兩端施加大小相等、方向相反、作用線不在同一直線上的力，合力為 0，書仍會旋轉。平面問題中，這兩條向量式共有三條純量方程式：水平合力、鉛直合力、合力矩，最多可解三個未知數。

以下事實在計算上十分有用：合力為 0 時，對任何一點計算的合力矩都相同。若對某一點的合力矩為 0，對其他每一點也都為 0。因此轉軸可以自由選擇，通常選在未知力作用的點，該力的力臂為 0，方程式可減少一個未知數。

重心

重力作用在物體的每一部分。計算力矩時，可將全部重量視為集中於一點，此點稱為重心（center of gravity）。

$$\tau_{\text{重}} = \sum (x_i)(m_i g) = \left(\sum m_i x_i\right) g = (M x_{\text{cm}}) g$$

重力場均勻時（$g$ 處處相同），$g$ 可以提出，因此重心即第 10 課的質心。地面上的一般物體皆屬此情況。

重心決定物體是否翻倒：置於桌上的物體，重心的鉛直投影須落在支撐面內。投影一旦超出支撐面，重力即產生使其翻倒的力矩。

靠牆梯子的平衡

梯子長 $L$、質量 $m$，與地面夾角 $\theta$；人質量 $M$，位於距離梯腳 $sL$ 處。假設牆面光滑（只有垂直牆的正向力 $N_w$），地面有正向力 $N_f$ 和靜摩擦 $f$。

水平和鉛直的合力為 0：

$$f = N_w \qquad N_f = (m + M)g$$

尚未知的是 $N_w$。對梯腳取力矩，$N_f$ 和 $f$ 皆作用在梯腳，力臂為 0，方程式中只剩 $N_w$：

$$N_w L\sin\theta = mg\frac{L}{2}\cos\theta + Mg\,sL\cos\theta$$

$L$ 可以消去，因此梯子長度不影響結果：

$$N_w = \left(\frac{m}{2} + Ms\right)\frac{g}{\tan\theta}$$

靜摩擦有上限：$f \le \mu_s N_f$。將 $f = N_w$ 代入，不滑動的條件是：

$$\mu_s \ge \frac{m/2 + Ms}{(m + M)\tan\theta}$$

此式說明兩項經驗：梯子越斜（$\theta$ 越小），所需的摩擦越大；人爬得越高（$s$ 越大），也越容易滑動。因此梯子可能在人爬到中途時才突然滑動。

應力與應變

以上討論皆將物體視為剛體。真實的材料受力時會變形，只是形變往往小到無法察覺。

考慮一根棒子被拉長 $\Delta L$。相同的力作用在較粗的棒子上，形變較小；作用在較長的棒子上，總伸長較多。因此採用兩個與尺寸無關的量：

$$\text{應力} = \frac{F}{A} \qquad \text{應變} = \frac{\Delta L}{L}$$

應力單位是 Pa（N/m²），應變沒有單位。在彈性範圍內兩者成正比，比例常數是楊氏模數（Young's modulus）$E$：

$$\frac{F}{A} = E\frac{\Delta L}{L}$$

此式即虎克定律與尺寸無關的形式。常見材料的 $E$（工程手冊常用值，實際值隨合金與加工而變）：

估算範例：長 2 m、截面積 1 cm² 的鋼棒，懸吊 1000 kg 的重物。應力是 $9800 / 10^{-4} = 9.8\times 10^7$ Pa，應變 $= 9.8\times 10^7 / (2\times 10^{11}) = 4.9\times 10^{-4}$，伸長約 $1$ mm。

超過彈性範圍之後，移除外力也無法恢復原狀（塑性變形），外力再增大則會斷裂。平行於截面的力造成剪應變，各方向的壓力造成體積應變，兩者各有其模數，概念相同。

重點整理

• 靜力平衡：$\sum\vec{F} = 0$ 且 $\sum\vec{\tau} = 0$，且物體原本靜止
• 合力為 0 時，更換轉軸合力矩不變，因此選擇未知力作用的點為轉軸最便於計算
• 重力均勻時重心即質心；重心投影超出支撐面時物體翻倒
• 靠牆梯子（牆面光滑）：$\mu_s \ge \frac{m/2 + Ms}{(m+M)\tan\theta}$，梯子越斜、人爬得越高，越容易滑動
• 應力 $= E \times$ 應變，只在彈性範圍內成立；鋼的 $E$ 約 200 GPa

下一課討論大尺度上的作用力：萬有引力，以及其如何決定行星的軌道。