轉動與轉動慣量

直線運動與轉動的對應

從同一斜面同時釋放質量、半徑皆相同的圓環與實心圓柱。無論質量與半徑多大，實心圓柱必定先到達底部。兩者所受的重力相同，差別在於質量與轉軸的距離。

本課將直線運動的物理量逐一對應到轉動：

表中的 $v = r\omega$ 僅在角度以弧度表示時才有此簡單形式。同一剛體上，所有點的 $\omega$ 相同，但離軸越遠 $v$ 越大。

轉動慣量的定義

剛體繞軸轉動時，每個質點的動能是 $\frac{1}{2}m_i v_i^2 = \frac{1}{2}m_i r_i^2\omega^2$。全部加總時，$\omega$ 是共同的，可以提出：

$$K = \frac{1}{2}\left(\sum m_i r_i^2\right)\omega^2 = \frac{1}{2}I\omega^2$$

括號內的量稱為轉動慣量（moment of inertia）：

$$I = \sum m_i r_i^2$$

距離以平方計入，因此質量離轉軸越遠，影響越大。花式滑冰選手收回手臂時轉速增加，下一課將討論此現象。同一物體換一個轉軸，$I$ 即不同，因此談轉動慣量必須說明轉軸。

連續物體則將加總換成積分（亦即分割成許多小段，每段的 $dm$ 乘以距離平方，再全部累加）。均勻細桿長 $L$、質量 $M$，線密度 $\lambda = M/L$，繞端點：

$$I = \int_0^L x^2\lambda\,dx = \frac{\lambda L^3}{3} = \frac{1}{3}ML^2$$

繞中心時積分範圍改成 $-L/2$ 到 $L/2$，得到 $\frac{1}{12}ML^2$。常見形狀的結果（$M$ 是總質量）：

分割後再累加的方法，可參閱微積分軌的弧長、功、平均值與機率。

平行軸定理

每次更換轉軸都重新積分並不方便。若新轉軸與通過質心的轉軸平行、相距 $d$，兩者有以下關係：

$$I = I_{\text{cm}} + Md^2$$

推導如下。以質心為原點，質點的位置是 $(x_i, y_i)$，新轉軸在 $(d, 0)$：

$$I = \sum m_i[(x_i - d)^2 + y_i^2] = \sum m_i(x_i^2 + y_i^2) - 2d\sum m_i x_i + d^2\sum m_i$$

中間項的 $\sum m_i x_i$ 為 0，因為原點即質心。其餘的第一項是 $I_{\text{cm}}$，最後一項是 $Md^2$。

驗算：細桿 $I_{\text{cm}} = \frac{1}{12}ML^2$，移到端點 $d = L/2$，得到 $\frac{1}{12}ML^2 + \frac{1}{4}ML^2 = \frac{1}{3}ML^2$，與積分的結果相同。

由此式也可知，繞質心的 $I$ 是所有平行軸中最小的。

滾動不滑動

車輪滾動時，輪子與地面的接觸點瞬間靜止。此即滾動不滑動的條件：

$$v_{\text{cm}} = \omega R$$

輪子滾動一圈，質心前進 $2\pi R$，恰等於周長。

滾動的動能可分解為質心平移與繞質心轉動兩部分（第 9 課質心動能分解推廣到剛體的結果）：

$$K = \frac{1}{2}Mv^2 + \frac{1}{2}I\omega^2$$

代入 $\omega = v/R$，並寫成 $I = \beta MR^2$（$\beta$ 是形狀的係數）：

$$K = \frac{1}{2}Mv^2(1 + \beta)$$

從高度 $h$ 滾下時，$Mgh = \frac{1}{2}Mv^2(1 + \beta)$，因此：

$$v = \sqrt{\frac{2gh}{1 + \beta}}$$

$M$ 和 $R$ 皆被消去，只剩形狀係數 $\beta$。質量越集中於外圈（$\beta$ 越大），分配給轉動的能量越多，平移越慢。因此先後順序與質量、半徑無關：實心球（2/5）、實心圓柱（1/2）、空心球（2/3）、圓環（1）。

此處可以使用能量守恆，因為滾動時靜摩擦力作用在瞬間靜止的接觸點上，不做功、不消耗能量，同時提供使輪子轉動的力矩。靜摩擦力須足夠大才不會打滑：$\mu_s \ge \frac{\beta}{1 + \beta}\tan\theta$。斜面過陡或表面過滑時物體開始滑動，上述公式不再適用。

重點整理

• 角量與線量一一對應，$v = r\omega$ 只在角度以弧度表示時成立
• 轉動慣量 $I = \sum m r^2$ 取決於質量分布和轉軸，連續物體以積分計算
• 平行軸定理：$I = I_{\text{cm}} + Md^2$，繞質心最小
• 滾動不滑動：$v = \omega R$；$K = \frac{1}{2}Mv^2(1 + \beta)$；靜摩擦在此不做功
• 先後順序只取決於 $\beta$：實心球、實心圓柱、空心球、圓環，與質量、半徑無關（前提是不打滑）

下一課討論使物體開始轉動的力矩，以及轉動中的動量守恆。較完整的說明請參閱讀本的旋轉世界的牛頓定律。