萬有引力與軌道

萬有引力定律

在地面上空 400 公里的軌道上，重力加速度仍約為地面的 89%。太空人飄浮，是因為太空艙和艙內的人以相同的加速度繞地球「落下」，人對艙壁沒有壓力，因此感覺不到重量。物體的切向速度足夠大時，地面隨之彎曲遠離，物體始終不會落地，此即軌道。

牛頓提出，任何兩個質量之間都有吸引力，大小與距離平方成反比：

$$F = \frac{GMm}{r^2}$$

$G \approx 6.674\times 10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$，方向沿兩者的連線，彼此的力互為作用力與反作用力。

球形物體的質量分布於整個體積，$r$ 的取法需要殼層定理（此處只用結論）：均勻球殼對殼外物體的吸引力，與全部質量集中於球心時完全相同；球殼對殼內物體的合力則為 0。因此計算地球對外部物體的重力時，可將地球視為一個質點。

由此可以檢查 $g$：地球 $GM \approx 3.986\times 10^{14}\ \text{m}^3/\text{s}^2$、半徑約 6378 km（NASA 資料），

$$g = \frac{GM}{R^2} \approx 9.8\ \text{m/s}^2$$

與實驗測得的值一致，地面重力和支配行星運動的力是同一種力。

重力位能與逃逸速度

重力是保守力，可以定義位能。力隨距離改變，因此須積分（亦即將物體從 $r$ 移到無限遠時，每一小段的力乘以距離全部累加，即為對抗重力所做的功）。取無限遠處的位能為 0：

$$U(r) = -\int_r^\infty \frac{GMm}{s^2}\,ds = -\frac{GMm}{r}$$

位能為負，表示物體受束縛，須供給能量才能移到無限遠。靠近地面時，兩個位置的差 $\Delta U \approx mgh$，與第 8 課的式子一致。該式只在高度遠小於地球半徑時才準確。

總能量守恆（只有重力作用）：

$$E = \frac{1}{2}mv^2 - \frac{GMm}{r}$$

逃逸是指物體到達無限遠處時動能仍不為負（$K \ge 0$），需要 $E \ge 0$。令 $E = 0$：

$$v_{\text{esc}} = \sqrt{\frac{2GM}{r}}$$

地面上約 11.2 km/s（不計空氣阻力）。式中沒有 $m$，因此逃逸速度與物體質量無關；也與方向無關，只要軌道不與行星相交即可，因為能量是純量。

圓軌道速率可由向心力求得：$\frac{GMm}{r^2} = \frac{mv^2}{r}$，因此 $v_{\text{圓}} = \sqrt{GM/r}$。比較兩式：逃逸速度是同一高度圓軌道速率的 $\sqrt{2}$ 倍。

注意向心力不是另一種力，此處的向心力即重力。

能量與軌道的種類

只受平方反比的力時，軌道必為圓錐曲線，種類和大小由總能量決定，扁度還取決於角動量（$E$ 是每單位質量的能量）：

橢圓軌道的能量只與半長軸 $a$ 有關：

$$E = -\frac{GM}{2a}$$

$a$ 相同的軌道，無論多扁，能量皆相同。圓軌道的 $K = -U/2$，總能量是位能的一半，因此衛星在低軌道時速度較快。

軌道也可能與星球相交：橢圓很扁時，近地點會落在地面以下。

克卜勒三定律

克卜勒分析行星觀測資料，在 1609 年提出前兩條定律，1619 年提出第三條。其後牛頓證明這些定律皆可由平方反比的力推得：

1. 第一定律：行星的軌道是橢圓，太陽位於其中一個焦點
2. 第二定律：行星與太陽的連線，在相同時間內掃過相同面積
3. 第三定律：週期的平方正比於半長軸的立方

第二定律即角動量守恆。 重力沿連線，力臂為 0，因此對太陽的力矩為 0，$L = mr^2\omega$ 不變。在極短的時間 $dt$ 內，連線掃過一個細長的三角形，面積 $dA = \frac{1}{2}r^2\,d\theta$，因此

$$\frac{dA}{dt} = \frac{1}{2}r^2\omega = \frac{L}{2m} = \text{定值}$$

第二定律只要求力為連心力，與平方反比無關。靠近太陽時 $r$ 小，速率較大；遠離時速率較小。

第三定律可由圓軌道直接導出。將 $v = 2\pi r/T$ 代入 $v^2 = GM/r$：

$$T^2 = \frac{4\pi^2}{GM}r^3$$

橢圓軌道則將 $r$ 換成半長軸 $a$，式子不變。以 NASA 的數值檢驗：火星半長軸約為地球的 1.524 倍，$1.524^{3/2} \approx 1.881$，火星一年恰約為 1.881 個地球年。

同步衛星：週期等於地球自轉一圈（相對恆星約 23.93 小時，並非 24 小時的太陽日），代入第三定律得距離地心約 42164 km，亦即高度約 35786 km。要使其相對地面靜止，還必須位於赤道上空，並與地球同方向轉動。

重點整理

• $F = GMm/r^2$；球對稱的星球對外部物體，可視為質點
• 重力位能 $U = -GMm/r$，取無限遠為 0；$mgh$ 是靠近地面的近似
• $v_{\text{圓}} = \sqrt{GM/r}$，$v_{\text{esc}} = \sqrt{2GM/r}$，兩者相差 $\sqrt{2}$ 倍
• 軌道種類由能量決定，扁度還取決於角動量：$E < 0$ 橢圓、$E = 0$ 拋物線、$E > 0$ 雙曲線；$E = -GM/(2a)$
• 克卜勒第二定律是角動量守恆，第三定律 $T^2 = 4\pi^2 a^3/(GM)$
• 太空人失重是因為與太空艙一起自由落下，重力依然存在

力學的基本工具至此告一段落，下一課討論流體。如需進一步觀察軌道，請參閱 Uedu Science 的軌道模擬，或讀本的克卜勒定律與軌道力學。