壓力與浮力

流體的壓力

潛到 3 公尺深的池底時，耳朵會明顯脹痛，因為耳膜外側的壓力大於內側。本課討論壓力隨深度的變化，以及此變化如何產生浮力。

壓力是單位面積受到的垂直力，$p = F/A$，單位是帕斯卡（Pa），$1\ \text{Pa} = 1\ \text{N/m}^2$。靜止流體中的壓力沒有方向：同一點上朝任何方向的面所受的壓力皆相同，且必定垂直於該面。

請先預測：下方四個容器裝水至相同高度，底面積也相同，但形狀不同。上寬的容器裝水最多，其底部的壓力是否較大？

靜止流體壓力公式的推導

在靜止的水中，於深度 $z$ 處取一片極薄的水平水層，面積 $A$、厚度 $dz$。水層靜止，因此上下的力必須平衡：

• 上方的水向下施力：$p(z)\,A$
• 下方的水向上施力：$p(z + dz)\,A$
• 水層的重量向下：$\rho A\,dz\,g$

合力為零，兩邊除以 $A\,dz$，得到

$$\frac{dp}{dz} = \rho g$$

此式的意義是：每往下一小段，壓力增加「上方多出的那一層水的重量除以面積」。從水面積分到深度 $d$（積分的意義見微積分基本定理），密度固定時可直接求得：

$$p(d) = p_0 + \int_0^d \rho g\,dz = p_0 + \rho g d$$

$p_0$ 是水面上的大氣壓，$\rho g d$ 這一項稱為表壓，亦即壓力計通常顯示的數值。

與形狀無關的原因：水平方向也須平衡，因此連通的同一種靜止流體，同一高度的壓力處處相同。傾斜的容器壁對水施力，此力的鉛直分量支撐「多出的水重」，或向下補足「減少的水重」，因此底面受力不等於水重。

適用條件：流體靜止、密度均勻。空氣的密度隨高度減小，不能使用此線性公式，因此大氣壓並非線性下降；依國際標準大氣計算，4000 公尺高的氣壓僅約為海平面的六成。

1640 年代，托里切利（Evangelista Torricelli）將裝滿水銀的玻璃管倒插入水銀槽，管內水銀僅下降至約 76 公分高。上方幾乎是真空，支撐水銀柱的是外部的大氣壓。水銀密度約 $13600\ \text{kg/m}^3$，代入 $\rho g h$ 得約 $1.01 \times 10^5\ \text{Pa}$。相同的壓力若換成水，水柱約 10.3 公尺高。

帕斯卡原理

帕斯卡原理：對封閉、不可壓縮的靜止流體施加的壓力變化，會傳遞到流體的每一點。因此

$$\frac{F_1}{A_1} = \frac{F_2}{A_2}$$

小力可轉換為大力，這是千斤頂、油壓煞車的原理，但能量並未增加。液體不可壓縮，小活塞推移的體積必須等於大活塞升起的體積：$A_1 d_1 = A_2 d_2$。代入後 $F_1 d_1 = F_2 d_2$，輸入的功等於輸出的功，只是以較長的距離換取較大的力。

浮力與阿基米德原理

將邊長 $s$ 的方塊完全浸入液體，頂面深度為 $d$：

• 四個側面的壓力兩兩互相抵消
• 頂面受力向下：$(p_0 + \rho_f g d)\,s^2$
• 底面受力向上：$(p_0 + \rho_f g (d + s))\,s^2$

兩者相減，$d$ 和 $p_0$ 皆被消去：

$$F_b = \rho_f g s^3 = \rho_f V g$$

向上的合力等於被排開的液體的重量，此即阿基米德原理。此原理不限於方塊：假想將物體換成同形狀的液體，該液體靜止不動，周圍的壓力恰好支撐其重量。將物體置回後，周圍的壓力不變，因此受力相同。

由此可得兩項結論。第一，完全浸沒後繼續下沉時，只要液體不可壓縮，浮力即不變，因為上下壓力同時增加。第二，浮力來自底面的液體向上施力；物體若緊貼池底、底下沒有液體，此推導即不適用。

浮沉只取決於平均密度：

• $\rho < \rho_f$：上浮，靜止於液面，浸入比例恰使浮力等於重力
• $\rho > \rho_f$：下沉
• $\rho = \rho_f$：在液體中任何位置皆可靜止

浮於液面時 $\rho_f g V_{\text{浸}} = \rho g V$，因此

$$\frac{V_{\text{浸}}}{V} = \frac{\rho}{\rho_f}$$

請先預測，再釋放方塊。下列密度為常用值：冰約 $917$、鋁約 $2700$、鋼約 $7850$、水銀約 $13600\ \text{kg/m}^3$。

熱氣球與重點整理

空氣也是流體，浮力同樣成立。20°C 的空氣密度約 $1.2\ \text{kg/m}^3$，加熱至 100°C 約 $0.95\ \text{kg/m}^3$（壓力相同時，密度與絕對溫度成反比）。每立方公尺的熱空氣可提供約 $0.25$ 公斤的淨承載。2000 立方公尺的氣球，扣除球內熱空氣的重量後，約可承載 500 公斤，包含球皮、吊籃和乘客。

重點整理

• 靜止、密度均勻的流體：$p = p_0 + \rho g d$，只取決於深度，與形狀無關
• 帕斯卡原理：壓力傳遍封閉流體，力放大的倍數等於位移縮小的倍數，功不變
• 阿基米德原理：$F_b = \rho_f V_{\text{排}} g$，來自上下壓力差
• 浮沉取決於平均密度；漂浮時浸入比例 $= \rho/\rho_f$

下一課討論流動的流體，以及流速與壓力的關係。如需進一步操作，請參閱 Uedu Science 的浮力實驗。