流體的流動

連續方程式

水龍頭開小時，水柱愈往下愈細。水量並未減少，原因是水落下時受重力加速。每秒通過任一截面的水量必須相同，速度增大，截面隨之縮小。

此關係即連續方程式。流體穩定流動且不可壓縮時，流管內無處堆積流體，因此

$$A_1 v_1 = A_2 v_2$$

$Av$ 是體積流率，單位 $\text{m}^3/\text{s}$。

以水柱為例：出水口流速 $0.5\ \text{m/s}$，落下 $20\ \text{cm}$ 後，流速由 $v^2 = v_0^2 + 2gh$ 求得約 $2.0\ \text{m/s}$，約為原來的 4 倍。截面積約為原來的 $1/4$，直徑約為原本的一半。

進行下面的練習前，請先判斷：水流入水管較細的一段時速度增大，細處的壓力高於或低於粗處。

白努利方程式的推導

白努利方程式並非新的定律，而是功能定理應用於流體的結果。考慮流管內的一段水，經過一小段時間後向前移動。左端面積 $A_1$ 前進 $\Delta x_1$，右端面積 $A_2$ 前進 $\Delta x_2$。

穩定流動使這段水的中間部分維持不變，相當於將左端體積 $\Delta V_1$ 移至右端。不可壓縮使 $A_1\Delta x_1 = A_2\Delta x_2 = \Delta V$，質量 $\rho \Delta V$。

• 周圍流體對這段水做的功：$p_1 A_1 \Delta x_1 - p_2 A_2 \Delta x_2 = (p_1 - p_2)\Delta V$
• 動能的變化：$\frac{1}{2}\rho\Delta V (v_2^2 - v_1^2)$
• 重力位能的變化：$\rho \Delta V g (y_2 - y_1)$

無黏滯表示沒有其他的力做功，因此功等於動能與位能的增加量。除以 $\Delta V$ 並整理後得到：

$$p_1 + \frac{1}{2}\rho v_1^2 + \rho g y_1 = p_2 + \frac{1}{2}\rho v_2^2 + \rho g y_2$$

適用條件有四項：穩定、不可壓縮、無黏滯、同一條流線。兩點之間也不可有泵浦或渦輪這類額外做功或取走能量的裝置。條件不成立時不適用，例如泵浦前後，或黏滯明顯的細長管。

因果關係。常見的說法「流速快所以壓力低」容易被誤解為流速控制壓力。實際上，水因前後的壓力差而加速。白努利方程式描述的是兩者同時成立的關係，並未指明因果。

下方的小工具可將出口墊高，以觀察位能項的影響。流速不變時，壓力由高度決定，與上一課的 $\rho g h$ 相同。

水孔的流速

大水槽側面開一個小孔，孔位於水面下 $h$ 處。在水面和孔各取一點，列出白努利方程式：

• 兩處皆接觸大氣，壓力皆為 $p_0$，可以消去
• 水槽截面遠大於孔，由連續方程式，水面下降速度近似為 0

剩下 $\rho g h = \frac{1}{2}\rho v^2$，亦即

$$v = \sqrt{2gh}$$

此即托里切利定律，流速與物體從高度 $h$ 自由落下的速度相同。實際水流因黏滯與出口收縮，出水量略小。

水流出後的運動即第 3 課的水平拋體。孔的位置改變時，流速與落地時間的變化方向相反；射程最遠的孔請先預測。

黏滯性與雷諾數

白努利方程式假設無黏滯，而真實流體皆有黏滯。水流過管壁時，緊貼管壁的流層幾乎靜止，愈靠近中央流速愈大，相鄰流層之間互相拖曳。黏滯係數 $\eta$ 描述此拖曳的強度：20°C 的水約 $1.0 \times 10^{-3}\ \text{Pa}\cdot\text{s}$，空氣約 $1.8 \times 10^{-5}\ \text{Pa}\cdot\text{s}$。

流速較低時，流體逐層平順滑動，稱為層流。流速較高時，出現雜亂的渦旋，稱為紊流。1883 年，雷諾（Osborne Reynolds）在玻璃管中注入染料觀察此轉變：低速時染料呈一條直線，高速時迅速散開。決定轉變的是一個無單位的數，現稱為雷諾數：

$$Re = \frac{\rho v D}{\eta}$$

雷諾數比較慣性與黏滯的相對影響。圓管流動的 $Re$ 約低於 2000～2300 時維持層流，遠高於此值（工程上常用約 4000）時為紊流。此轉變並無明確的界線，與入口條件、管壁、擾動皆有關。

以水龍頭的水為例：管徑 1.5 cm、流速 1 m/s，$Re = \frac{1000 \times 1 \times 0.015}{1.0 \times 10^{-3}} = 15000$，屬於紊流。

層流時，水管長度 $L$、半徑 $R$、壓力差 $\Delta p$ 下的流量由泊肅葉定律決定：

$$Q = \frac{\pi R^4 \Delta p}{8 \eta L}$$

$R^4$ 表示半徑減半時，同樣壓力差下流量僅為 $1/16$。此時壓力沿等粗的水平管下降，白努利方程式不含此效應，因其假設無黏滯。

機翼升力的解釋

常見的說法是：機翼上方的路徑較長，空氣須與下方同時到達後緣，因此上方流速快、壓力低，產生升力。

後半句「上方流速較快、壓力較低」正確，但「同時到達」沒有物理依據。美國航太總署（NASA）Glenn 研究中心將其列為錯誤理論：實際上上方的空氣比下方更早到達後緣，真實流速也遠高於此理論的計算值，因此其算出的升力遠小於實際。此外，紙飛機的平板上下面等長，飛機也能倒飛，這些現象都無法以「路徑較長」解釋。

較完整的說法是：機翼使氣流向下偏轉。依牛頓定律，機翼將空氣向下推，空氣則將機翼向上推；同時機翼上下表面有壓力差，這兩種說法描述的是同一件事。白努利方程式可以連結流速與壓力，但無法說明流速的成因，計算升力仍須求解流場。

重點整理

• 連續方程式：穩定、不可壓縮時 $A_1 v_1 = A_2 v_2$
• 白努利方程式：$p + \frac{1}{2}\rho v^2 + \rho g y$ 沿流線不變，條件是穩定、不可壓縮、無黏滯、同一條流線
• 托里切利定律：$v = \sqrt{2gh}$
• 雷諾數用於判斷層流與紊流；黏滯造成的壓力下降不包含在白努利方程式內
• 機翼的「同時到達」是錯誤的說法

下一課討論一種廣泛出現的運動：簡諧運動。也可以至 Uedu Science 的白努利實驗自由調整。