簡諧運動

簡諧運動的條件

彈簧上的物體、鞦韆、吉他弦、分子內的原子，性質各不相同，但只要偏離平衡不太遠，皆以同一條式子描述。原因是穩定平衡點附近，位能的形狀通常接近拋物線。將 $U(x)$ 在平衡點展開（見泰勒展開），一次項為 0，因此最低階為 $U \approx \frac{1}{2}kx^2$，回復力為

$$F = -\frac{dU}{dx} = -kx$$

力與位移成正比、方向相反，此即簡諧運動的條件。負號表示力恆指向平衡點。

代入牛頓第二定律：

$$m\frac{d^2x}{dt^2} = -kx$$

此式表示位置的二次導數與位置本身成正比，且相差一個負號。餘弦函數微分兩次恰好回到原函數並多一個負號，因此解為

$$x(t) = A\cos(\omega t + \phi), \qquad \omega = \sqrt{\frac{k}{m}}$$

$A$ 是振幅、$\phi$ 是初相位，由起始條件決定；$\omega$ 只由系統決定。這類方程式的完整解法見二階微分方程與振動。週期為

$$T = \frac{2\pi}{\omega} = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}$$

相位與能量

將解微分：

$$v = -A\omega\sin(\omega t + \phi), \qquad a = -A\omega^2\cos(\omega t + \phi) = -\omega^2 x$$

因此：

• 經過平衡點（$x = 0$）時，合力為 0、加速度為 0，速率最大，$v_{\max} = A\omega$
• 在最遠處（$x = \pm A$）時，速度為 0，加速度最大，$a_{\max} = A\omega^2$，方向指向平衡點
• 速度領先位移四分之一週期，加速度與位移恰好相反

速度為 0 不代表沒有加速度：最遠處正是受力最大之處。

能量：動能與彈性位能不斷交換，總和不變（彈簧力是保守力，且沒有阻尼）：

$$\frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}kx^2 = \frac{1}{2}kA^2$$

能量正比於振幅的平方。$x = A/2$ 時，位能只占 $1/4$，動能占 $3/4$。

週期與振幅無關，這是簡諧運動最特別的性質。振幅加倍時距離加倍，但力也加倍，平均速度隨之加倍，因此來回一次的時間不變。下方的「看結果」實際求解運動方程式並測量通過平衡點的時間，並非套用週期公式；請先預測再驗證。

單擺的小角度近似

擺長 $L$、質量 $m$ 的單擺，沿圓弧方向的力是重力的切線分量 $-mg\sin\theta$，弧長為 $L\theta$。列出沿弧方向的牛頓第二定律，消去質量後得到：

$$\frac{d^2\theta}{dt^2} = -\frac{g}{L}\sin\theta$$

此式並非簡諧運動，因為右邊是 $\sin\theta$ 而非 $\theta$。但角度很小時 $\sin\theta \approx \theta$（以弧度計），方程式與彈簧相同，$\omega = \sqrt{g/L}$：

$$T_0 = 2\pi\sqrt{\frac{L}{g}}$$

式中沒有質量：重力正比於 $m$，慣性也正比於 $m$，兩者抵消。式中也沒有振幅，但這只在小角度近似下成立。角度變大時 $\sin\theta < \theta$，回復力小於線性情形，因此週期變長。

此方程式沒有基本函數形式的解，須以數值方法求解，下方的小工具即採此方法。

重點整理

• 回復力正比於位移：$F = -kx$，解為 $x = A\cos(\omega t + \phi)$，$\omega = \sqrt{k/m}$
• 平衡點速率最大、加速度為 0；最遠處速度為 0、加速度最大
• 參考圓：等速圓周運動投影到一條軸上即為簡諧運動
• 能量 $\frac{1}{2}kA^2$ 在動能和位能之間交換；週期和振幅無關
• 單擺 $T_0 = 2\pi\sqrt{L/g}$ 是小角度近似，和質量無關；大角度時週期變長

本課假設沒有能量損失，因此振動持續不止。下一課加入阻尼與外力驅動。若要自由調整，可至 Uedu Science 的單擺實驗與彈簧振子。