阻尼與共振

阻尼振動

上一課的振動持續不止，真實系統則不然。鞦韆若無人推動，會因空氣阻力和摩擦而擺幅逐漸縮小。最簡單的模型是加入與速度成正比的阻力 $-cv$：

$$m\ddot{x} + c\dot{x} + kx = 0$$

$\ddot{x}$、$\dot{x}$ 分別是加速度和速度。令 $\gamma = c/2m$、$\omega_0 = \sqrt{k/m}$，解的形式由 $\gamma$ 與 $\omega_0$ 的相對大小決定：

$c = 10$ 與 $c = 20$ 何者較快回到平衡點，可由下面的練習比較；並非阻尼愈大愈快。

Q 值

欠阻尼時，能量正比於振幅平方，因此依 $e^{-2\gamma t}$ 衰減。常以一個無單位的數描述阻尼的大小：

$$Q = \frac{\omega_0}{2\gamma} = \frac{\sqrt{mk}}{c}$$

$Q$ 大代表能量流失緩慢。阻尼不大時，振動一週損失的能量比例約為 $2\pi/Q$。

車輛的避震器、自動關門器都需要足夠大的阻尼，以避免持續振動。阻尼過大亦不適當：過阻尼時回到平衡點的速度很慢。

接下來對系統施加週期性外力 $F_0\cos\omega t$。

$$m\ddot{x} + c\dot{x} + kx = F_0\cos\omega t$$

初始的運動較複雜，是暫態（自然頻率的振動）和穩態的疊加。暫態依 $e^{-\gamma t}$ 衰減，剩下的穩態以驅動頻率振動，而非自然頻率。下面的練習請先預測，再觀察實際結果。

穩態振幅與共振峰

穩態解 $x = A\cos(\omega t - \delta)$ 的振幅：

$$A(\omega) = \frac{F_0}{\sqrt{(k - m\omega^2)^2 + (c\omega)^2}}$$

由此式可直接讀出三個頻率範圍的行為：

• $\omega \to 0$：外力幾乎是定力，$A \to F_0/k$，位移和外力同相
• $\omega = \omega_0$：彈簧力和慣性抵消，只剩阻尼項，$A = F_0/(c\omega_0)$，位移落後外力 90 度
• $\omega \gg \omega_0$：慣性主導，$A \approx F_0/(m\omega^2)$，位移落後接近 180 度，物體和外力反向

分母最小之處是共振峰。對分母微分並令其為 0：

$$\omega_r = \sqrt{\omega_0^2 - \frac{c^2}{2m^2}}$$

阻尼小時 $\omega_r \approx \omega_0$；當 $c^2 \ge 2mk$ 時根號內不再為正，共振峰消失，振幅隨 $\omega$ 單調下降。

能量觀點：$\omega = \omega_0$ 時位移落後外力 90 度，亦即速度和外力同相。外力始終順著運動方向，每一時刻都做正功，如同在適當時機推鞦韆。振幅持續增大，直到每週輸入的能量等於阻尼消耗的能量才趨於穩定。因此共振的振幅取決於阻尼，$Q$ 愈大峰愈高愈窄，峰寬約 $\omega_0/Q$。

塔科馬海峽大橋與其他案例

1940 年 11 月 7 日，美國塔科馬海峽大橋在風中劇烈扭轉後斷裂。許多課本將其視為共振的例子，此說法過於簡化。

強迫共振需要一個頻率事先固定的週期性外力，恰等於自然頻率。風不具備此條件。Billah 與 Scanlan 在 1991 年的論文指出，扭轉振動的頻率與風產生的渦旋脫落頻率相差甚多，無法以「渦旋推動橋面」的強迫共振解釋。主流的解釋是氣動彈性顫振（flutter）：橋面扭轉改變其與風的夾角，進而改變風對橋面的力，形成回饋。振動本身決定了推力的時機，稱為自激振動，相當於有效阻尼變為負值，振幅因此持續增大。

類似的回饋也發生在倫敦千禧橋：2000 年開放後，人群走過時橋面左右晃動，行人不自覺地配合晃動的節奏踏步，使晃動加大，後來加裝阻尼器才重新開放。

工程上也利用共振。台北 101 內部懸掛重達數百公噸的擺錘，其自然頻率調整至接近大樓的振動頻率，大樓晃動時能量轉移至擺錘，再由阻尼器消耗，此裝置稱為調諧質量阻尼器。

重點整理

• 阻尼比較 $\gamma$ 和 $\omega_0$：欠阻尼、臨界阻尼 $c = 2\sqrt{mk}$、過阻尼
• $Q = \sqrt{mk}/c$，$Q$ 大則衰減慢、共振峰高而窄
• 強迫振動的穩態頻率是驅動頻率；暫態會衰減
• $\omega_r = \sqrt{\omega_0^2 - c^2/2m^2}$，阻尼小時 $\omega_r \approx \omega_0$；$\omega = \omega_0$ 時速度和外力同相，外力持續做正功
• 大振幅不一定來自強迫共振：自激振動的力由運動本身決定

下一課從單一物體的振動，進入一連串物體共同振動所形成的波。