行進波

波的傳播與質點的運動

球場觀眾進行波浪舞時，「波」繞場一圈，但無人離開座位，每個人只是起立又坐下。繩子一端抖動一次，凸起傳到另一端，繩子本身並未隨之移動。

波傳遞的是能量和運動狀態，而非物質。 介質的每一點只在原位置附近振動。

• 橫波：質點振動方向和波的行進方向垂直（繩波，也是電磁波的特徵）
• 縱波：質點振動方向和行進方向平行（聲波）

下面的練習請觀察紅點是否隨波向右移動。

波函數

波形以速度 $v$ 向右移動而不變形，相當於函數平移：$y(x, t) = g(x - vt)$。經過時間 $t$，整條曲線右移 $vt$。波形為正弦時：

$$y(x, t) = A\sin(kx - \omega t)$$

• 波數 $k = 2\pi/\lambda$：空間上每公尺對應的弧度
• 角頻率 $\omega = 2\pi f = 2\pi/T$：時間上每秒對應的弧度
• 波速由「波峰的相位固定」求得：$kx - \omega t$ 為定值時，$v = dx/dt = \omega/k = \lambda f$

負號代表朝 $+x$ 行進：$t$ 增大時，$x$ 也必須增大才能維持同一相位。

此函數同時描述兩件事。固定 $t$ 時是某一瞬間的波形，可讀出波長。固定 $x$ 時是單一質點的簡諧運動，可讀出週期。下面由兩張圖讀出波長和頻率，再寫出算式。

注意質點的速度不等於波速。質點速度由對時間微分求得：$\partial y/\partial t = -\omega A\cos(kx - \omega t)$，最大值為 $\omega A$，與波速 $v = \omega/k$ 是不同的量。振幅增大時，質點速度增大，波速不變。

波速與介質

弦上的波速是 $\sqrt{T/\mu}$（$T$ 是張力，$\mu$ 是線密度，每公尺的質量），可由因次與力學分析得到。

因次：$T$ 的單位是 $\text{kg}\cdot\text{m/s}^2$，$\mu$ 是 $\text{kg/m}$，比值是 $\text{m}^2/\text{s}^2$。開根號後才是速度，因此不可能是其他組合（常數倍以外）。

推導。改用隨波峰以 $v$ 移動的座標系，波形靜止，弦以速率 $v$ 朝反方向流過波峰。波峰附近是一小段半徑 $R$ 的圓弧，對應角度 $\Delta\theta$，質量 $\mu R\Delta\theta$。這段弦作圓周運動，因此需要指向圓心的合力 $\mu R\Delta\theta \cdot v^2/R$。此力來自兩端張力朝圓心的分量，$2T\sin(\Delta\theta/2) \approx T\Delta\theta$。令兩者相等：

$$T\Delta\theta = \mu\Delta\theta\, v^2 \quad\Rightarrow\quad v = \sqrt{\frac{T}{\mu}}$$

此處假設波的振幅很小、弦的傾斜很小，張力才能視為處處相同。

因此三個量的角色不同：

• 波速由介質決定（張力、線密度）
• 頻率由波源決定，波從一種介質進入另一種時頻率不變
• 波長是結果：$\lambda = v/f$

其他介質的波速形式類似，等於「回復能力」除以「慣性」再開根號。20°C 空氣中的聲速約 343 m/s，水中約 1480 m/s，鋼中約 6000 m/s。

能量：弦上每一小段都有動能和彈性位能，波將這些能量向前傳遞，平均功率為

$$P = \frac{1}{2}\mu v\,\omega^2 A^2$$

振幅加倍，功率變為 4 倍；頻率加倍，功率也變為 4 倍。下方的「模擬量測波速」不套用公式：程式將弦切成 800 小段，每段以張力的鉛直分量和牛頓第二定律推進，並追蹤波包的移動速度。

重點整理

• 波傳遞能量與運動狀態，質點只在原位置附近振動；橫波與縱波依振動方向區分
• $y = A\sin(kx - \omega t)$：負號代表朝 $+x$ 行進，$k = 2\pi/\lambda$，$\omega = 2\pi f$，$v = \omega/k = \lambda f$
• 質點速度最大值為 $\omega A$，與波速不同
• 波速由介質決定，弦上 $v = \sqrt{T/\mu}$；頻率由波源決定；波長是結果
• 平均功率 $\frac{1}{2}\mu v\omega^2 A^2$，正比於振幅平方與頻率平方

下一課討論兩個波相遇時的疊加。