疊加與駐波

疊加原理

兩顆球對撞時會彈開。繩子兩端各抖動一次，兩個波包相向而行，在中間相遇，相遇後的結果請先預測。

其結果由疊加原理決定：振幅不太大時，介質的合位移等於各波單獨造成的位移之和，$y = y_1 + y_2$。原因是波動方程式為線性，解的和仍然是解。振幅大到介質不再線性時，此原理才會失效。

同相、反相與相位差

反相的兩個波包在正中間相遇時，整條弦變平。能量並未消失：位移處處為 0，但波包範圍內除正中央一點之外，其他點的速度都不為 0，能量此刻全部以動能的形式存在，因此波包隨後繼續前進。

同頻率、同方向的兩個正弦波，相位差 $\delta$：

$$A\sin(kx - \omega t) + A\sin(kx - \omega t + \delta) = 2A\cos\frac{\delta}{2}\,\sin\left(kx - \omega t + \frac{\delta}{2}\right)$$

合成波的波長與頻率不變，振幅為 $2A\cos(\delta/2)$ 的絕對值：

• $\delta = 0$（同相）：振幅 $2A$，相長干涉
• $\delta = 180^\circ$（反相）：振幅 0，相消干涉

振幅不同時，可將兩個振幅視為夾角 $\delta$ 的向量相加：$A_{\text{合}} = \sqrt{A_1^2 + A_2^2 + 2A_1A_2\cos\delta}$。下方的「確認」直接將兩條曲線逐點相加後求最大值，並非套用公式。

駐波的形成

波到達固定端時發生反射，因此弦上同時存在兩個頻率相同、方向相反的波。由和差化積：

$$A\sin(kx - \omega t) + A\sin(kx + \omega t) = 2A\sin(kx)\cos(\omega t)$$

$x$ 與 $t$ 分離，波形不再移動，稱為駐波：

• $\sin(kx) = 0$ 之處恆不動，稱為節點，$x = 0, \lambda/2, \lambda, \dots$，間距 $\lambda/2$
• 兩節點中間振幅最大（$2A$），稱為腹點
• $\cos(\omega t) = 0$ 的瞬間，整條弦同時變平，此時能量全部是動能；到最大位移時全部是位能

兩個方向的波攜帶的能量相等，因此駐波沒有淨能量傳遞：能量在節點之間來回交換，不會通過節點。

弦與空氣柱的共振頻率

兩端固定的弦，兩端皆為節點，因此弦長必須恰為整數個半波長：

$$L = n\frac{\lambda_n}{2} \quad\Rightarrow\quad f_n = \frac{n v}{2L}, \quad n = 1, 2, 3, \dots$$

$n = 1$ 是基頻，其餘是諧音，頻率是基頻的整數倍。只有這些頻率能形成大振幅的駐波。以其他頻率驅動時，弦僅小幅振動。

$v = \sqrt{T/\mu}$ 代入後，可說明三種調音方式：鎖緊弦（$T$ 變大）音變高；換粗弦（$\mu$ 變大）音變低；按弦（$L$ 變短）音變高，按在弦的正中間，$L$ 減半，音高升一個八度（頻率加倍）。

真實的弦同時具有基頻和許多諧音，比例不同則音色不同。任何週期波形都可以分解為這些正弦波的和，此即傅立葉分析，可至 Uedu Science 的傅立葉實驗操作。

空氣柱的原理相同，條件改為開口端是位移腹點、閉口端是位移節點：

實際管口的腹點略在管外，計算音高時須加入管口修正，此處未計入。下一課將呈現空氣在管內的振動方式。

重點整理

• 疊加原理：位移逐點相加，波相遇後各自不受影響
• 相位差 $\delta$ 的合成振幅 $\sqrt{A_1^2 + A_2^2 + 2A_1A_2\cos\delta}$；同相相長，反相相消
• 反向等幅的兩個波疊加為駐波 $2A\sin(kx)\cos(\omega t)$；節點間距 $\lambda/2$，沒有淨能量傳遞
• 兩端固定的弦 $f_n = nv/2L$；兩端開口的管子相同；一端閉口只有奇數倍 $(2n-1)v/4L$

若要自由調整，可至 Uedu Science 的駐波實驗。下一課以這些工具討論聲音。