聲音與都卜勒效應

聲波與縱波

喇叭紙盆向前推時，前方空氣受壓變密；向後退時，空氣變稀。此疏密變化向外傳播，即為聲音。一小團空氣（微粒）在原位附近前後振動，振動方向與傳播方向平行，屬於縱波。個別分子實際上以每秒數百公尺的速率無規則運動、不斷互相碰撞，聲波只是疊加在此無規則運動上的微小集體位移。

同一個聲波可用兩種方式描述：

• 位移：空氣微粒偏離原位的距離
• 壓力：該處壓力與平常大氣壓的差值

兩者相差四分之一個波長：位移最大之處，兩側微粒朝同一方向運動，疏密沒有變化，壓力變化為 0；位移為 0 之處，兩側微粒同時向內或向外，壓力變化最大。因此管子的閉口端是位移節點，也是壓力腹點。

聲速由空氣的可壓縮程度和密度決定，$v = \sqrt{B/\rho}$（$B$ 是體積彈性模數），與頻率、音量無關。20°C 的空氣中約 343 m/s，溫度愈高聲速愈大。人耳的聽覺範圍約為 20 Hz 到 20000 Hz。

下面的圖呈現管內的空氣。注意微粒是左右運動，而非上下運動。

聲音強度與分貝

強度是單位面積上的功率，單位 $\text{W/m}^2$。人耳可聽到的強度範圍很大，最大與最小相差約 $10^{12}$ 倍，因此以對數表示：

$$\beta = 10\log_{10}\frac{I}{I_0}\ \text{dB}, \qquad I_0 = 10^{-12}\ \text{W/m}^2$$

對數將乘法轉為加法：

• 強度變為 10 倍，增加 10 dB；變為 100 倍，增加 20 dB
• 強度加倍，增加 $10\log_{10}2 \approx 3$ dB。因此 60 dB 加 60 dB（兩個不同調的相同聲源）約為 63 dB，而非 120 dB

點波源向四周均勻發聲、沒有反射時，能量分布在球面上，$I = P/(4\pi r^2)$。距離加倍時，面積變為 4 倍，強度變為 $1/4$，約減少 6 dB。

一般交談約 60 到 70 dBA（dBA 是依人耳敏感度加權過的分貝）。美國國立耳聾及其他溝通障礙研究所（NIDCD）的說明是，長時間或重複暴露於 85 dBA 以上可能造成聽力損失。

拍

兩個頻率相近的音同時發聲時，音量會週期性起伏，稱為拍。由和差化積：

$$\cos(2\pi f_1 t) + \cos(2\pi f_2 t) = 2\cos\left(2\pi\frac{f_1 - f_2}{2} t\right)\cos\left(2\pi\frac{f_1 + f_2}{2} t\right)$$

右邊第二項是快速振動，音高約為平均頻率。第一項是緩慢的包絡。音量取決於包絡的大小，正負各算一次，因此每秒起伏

$$f_{\text{拍}} = \lvert f_1 - f_2 \rvert$$

次，不必除以 2。調音師即利用此現象：與標準音比較時，拍愈慢代表愈接近，拍消失即調準。下面的練習不須聆聽也能完成：觀察紅色包絡在兩秒內起伏的次數。也可以按按鈕聆聽，音量很小。

都卜勒效應

救護車靠近時音高較高，遠離時音高較低。1842 年，都卜勒（Christian Doppler）提出波源或觀察者移動會改變接收到的頻率；1845 年，白貝羅（Buys Ballot）在荷蘭請樂手在行駛中的火車上吹奏，驗證了聲音的這個效應。

分兩步推導，$v$ 是聲速（相對於空氣），$f$ 是波源頻率。

波源移動：波源以 $v_s$ 朝觀察者接近。每個週期 $T = 1/f$，波前行進 $vT$，波源也前進 $v_s T$，因此前方的波長被壓縮：$\lambda' = (v - v_s)/f$。

觀察者移動：觀察者以 $v_o$ 迎向波，波前相對於觀察者的速度是 $v + v_o$。

每秒收到的波前數 = 相對速度 ÷ 波長：

$$f' = f\,\frac{v + v_o}{v - v_s}$$

$v_o$ 朝向波源為正，$v_s$ 朝向觀察者為正；遠離時代入負值。

不對稱：波源移動改變波長，觀察者移動改變相對速度，因此同樣的速度，結果不同。原因是空氣這個介質的存在，使「何者相對於空氣運動」具有物理意義。

靠近時音高不會持續升高。在同一直線上時，靠近的整段過程音高固定為 $f'$，持續增大的是音量；經過觀察者的瞬間音高才驟降。實際上車輛不會正對觀察者行進，只有朝向觀察者的速度分量才有影響：$f' = f v/(v - v_s\cos\theta)$，$\theta$ 是車速與連線的夾角，因此音高降低的過程是連續的。

光也有都卜勒效應，但光不需要介質，公式由相對論決定，只取決於相對速度。

重點整理

超音速時，波源位於所有波前的前方，波前的包絡是一個圓錐，半頂角滿足 $\sin\alpha = v/v_s$，$v_s/v$ 是馬赫數。錐面帶有集中的壓力變化，掃過地面時形成音爆。只要飛機維持超音速，錐面即持續跟隨，並非僅在突破音速的瞬間發生。

重點整理

• 聲音是縱波；位移節點即壓力腹點
• $\beta = 10\log_{10}(I/I_0)$；強度加倍增加約 3 dB，距離加倍減少約 6 dB（點波源、無反射）
• 拍頻 $= \lvert f_1 - f_2 \rvert$，音高約為平均頻率
• 都卜勒：$f' = f(v + v_o)/(v - v_s)$；波源移動改變波長，觀察者移動改變相對速度
• 超音速時波前疊成馬赫錐，$\sin\alpha = v/v_s$

下一單元進入熱學。若要再次操作，可至 Uedu Science 的都卜勒實驗、拍頻實驗、共鳴管實驗。