溫度與熱

溫度、熱與內能

將一杯冰水置於室溫的桌上，攪拌均勻後量測溫度，只要冰尚未融完，溫度便維持在接近 0 °C。室內空氣持續將能量傳給冰水，溫度卻不上升，可見「吸熱」與「升溫」是兩件不同的事。

以下區分三個常被混用的詞：

• 溫度：兩個物體接觸足夠久之後必定相同的量。A 和 C 溫度相同、B 和 C 也相同，則 A 和 B 相同（熱力學第零定律），溫度計即以此為依據。
• 熱：因溫度差而傳遞的能量，單位是焦耳。熱是傳遞的過程，物體不「含有」熱。
• 內能：物體內部所有分子的動能與彼此之間位能的總和。熱傳入時內能增加，但增加的部分不一定表現為溫度上升。

一整缸溫水的內能遠大於一根燒紅的針，溫度卻低得多。溫度決定熱流動的方向，不代表能量的多寡。

溫標：攝氏與克耳文的刻度間隔相同，$T_K = T_C + 273.15$。科學計算中，凡溫度出現於乘除或次方，一律使用克耳文。2019 年起，克耳文由固定波茲曼常數 $k = 1.380649 \times 10^{-23}\ \text{J/K}$ 來定義，不再依賴水的三相點。

熱膨脹：多數固體溫度上升時會變長，$\Delta L = \alpha L \Delta T$。鋼的 $\alpha$ 約 $13 \times 10^{-6}\ \text{K}^{-1}$，因此 100 公尺的鋼橋在溫差 40 K 之間會伸縮約 5 公分，橋面須預留伸縮縫。水是常見的例外：在 0 到約 4 °C 之間，水溫上升時反而收縮，約 4 °C 時密度最大。

比熱與潛熱

加入相同的熱，不同物質升溫的幅度不同。沒有相變時，升溫所需的熱為

$$Q = m c \Delta T$$

$c$ 稱為比熱（specific heat），代表 1 公斤升高 1 K 所需的能量。相變時溫度不變，所需的熱只與質量有關：

$$Q = m L$$

$L$ 稱為潛熱（latent heat）。熱並未「消失」：相變時能量用於克服分子之間的吸引，增加的是分子的位能，分子的平均動能不變，溫度計讀數也不變。汽化時分子間距大幅增加；冰融化時則是打斷部分氫鍵、破壞規則結構，體積反而略為縮小。

水的熔化潛熱約 $334\ \text{kJ/kg}$，汽化潛熱約 $2256\ \text{kJ/kg}$。這些數值隨溫度略有變化，本課程皆視為固定值。

由此表可得兩項結論。融化 1 公斤的冰需要 334 kJ，足以將 1 公斤的水從 0 °C 加熱到將近 80 °C。汽化 1 公斤的水需要 2256 kJ，是將其從 0 °C 加熱到 100 °C（約 419 kJ）的 5 倍多，因此水壺煮沸以後，還需很長時間才會燒乾。

熱平衡與混合溫度

將高溫物體放入冷水，熱由高溫流向低溫，直到溫度相同。容器隔熱、未與外界交換熱時，能量守恆可寫為：

$$Q_{\text{放}} = Q_{\text{吸}}$$

例如 0.3 kg、80 °C 的咖啡加入 0.05 kg、5 °C 的牛奶（皆視為水）：

$$0.3\,c\,(80 - T) = 0.05\,c\,(T - 5)$$

$c$ 可由兩邊消去，解得 $T \approx 69.3$ °C。材料不同時 $c$ 無法消去：質量相同時，比熱大的物體溫度變化小；一般而言取決於 $mc$。

有冰時須先判斷，不能直接列一條方程式。0.2 kg、20 °C 的水和 0.1 kg、0 °C 的冰混合：水降到 0 °C 最多放出約 16.7 kJ，融化全部的冰需要 33.4 kJ。熱量不足，因此最後為冰水混合物，溫度 0 °C，約有一半的冰融化。若只列一條方程式求解，會得到低於 0 °C 的溫度，這在隔熱容器內不可能發生，此即冰水維持 0 度的原因。

熱傳導與對流

熱有三種傳遞方式。傳導藉物質內的粒子逐一傳遞能量，物質本身不移動。對流藉流體的整體移動帶走能量。輻射藉電磁波傳遞，不需要介質。

厚度 $d$、面積 $A$ 的平板，兩面溫差 $\Delta T$，穩定之後每秒通過的熱（熱流，單位 W）由傅立葉定律給出：

$$H = \frac{k A \Delta T}{d}$$

此為微分形式 $H = -kA\frac{dT}{dx}$ 的特例：穩定時每一層通過的熱流相同，因此溫度隨位置線性下降，斜率 $\frac{dT}{dx}$ 是常數（導數的意義見微積分軌）。

冬天觸摸鐵欄杆比觸摸木頭冰冷，但兩者溫度相同，皆低於手的溫度。差別在於鐵的 $k$ 大得多，帶走手上熱量的速度較快，皮膚感受到的是手失去熱的速度。

多層相疊時，每層的熱流相同，將 $R = \frac{d}{kA}$ 視為熱阻，可如串聯電阻般相加：$H = \frac{\Delta T}{R_1 + R_2 + \cdots}$。溫差大部分落在熱阻大的那一層。羽絨衣與雙層玻璃皆利用此原理：將空氣封閉、使其不流動，其 $k$ 便很小。

對流沒有如此簡單的公式，流速、形狀皆有影響。粗略估算常用「熱流正比於表面與流體的溫差」，即牛頓冷卻定律（其解為微積分軌的指數衰減），這是近似關係，並非基本定律。

輻射

太陽的能量藉電磁波穿過真空到達地球。溫度高於絕對零度的物體都會發出熱輻射，功率由史蒂芬－波茲曼定律給出：

$$P = \varepsilon \sigma A T^4$$

$\sigma \approx 5.67 \times 10^{-8}\ \text{W}/(\text{m}^2\cdot\text{K}^4)$，$\varepsilon$ 是放射率（0 到 1 之間），理想的黑體 $\varepsilon = 1$。此處的 $T$ 必須使用克耳文，四次方對溫標非常敏感。

物體同時也吸收周圍的輻射，放射率相同時淨功率為兩個四次方之差：

$$P_{\text{淨}} = \varepsilon \sigma A (T^4 - T_0^4)$$

太陽表面約 5800 K，每平方公尺發出約 $6.4 \times 10^7$ W。相較之下，溫度約 300 K 的物體即使視為黑體，每平方公尺也僅約 460 W，且大多為不可見的紅外線。

重點整理

• 溫度決定熱流動的方向；熱是因溫差傳遞的能量；內能是物體內部的能量
• 沒有相變：$Q = mc\Delta T$；相變時溫度不變：$Q = mL$
• 隔熱容器內放出的熱等於吸收的熱；有冰時先判斷冰是否融完
• 傳導：$H = \frac{kA\Delta T}{d}$，多層時熱阻相加；對流沒有簡單的通式；輻射：$P = \varepsilon\sigma A T^4$，$T$ 用克耳文

金屬棒的溫度分布隨時間的演變，可參閱 Uedu Science 的熱傳導模擬；讀本有熱學分類的文章。下一課進入微觀層次：氣體的壓力、溫度與分子碰撞的關係。