Learning Objectives
- 說明電通量的意義與正負號
- 說明高斯定律對任何封閉面成立，以及面外電荷的影響
- 以對稱性計算點電荷、無限長線、無限大平面與均勻帶電球的電場
- 說明靜電平衡的導體內電場為 0，並由高斯定律推導淨電荷位於表面
- 區分定律成立與定律可用於計算電場
電通量
上一課計算帶電棒的電場須積分，帶電球更須做三維積分。然而均勻帶電球外的電場，與所有電荷集中於球心時完全相同。此結果可以不經積分得出，所依據的是本課的高斯定律。
首先定義電通量。以雨中的方框類比：雨線垂直穿過方框時接收最多，方框傾斜時較少，方框與雨線平行時為零。電場並非實際流動，但可採用相同的算法：
$$\Phi = \vec{E}\cdot\vec{A} = EA\cos\theta$$
電場不均勻或面為曲面時，將面分割為小塊相加：$\Phi = \oint \vec{E}\cdot d\vec{A}$。圓圈表示積分範圍是一個封閉面，$d\vec{A}$ 的方向規定朝外，因此穿出為正、穿入為負。
最簡單的情況是點電荷 $q$ 位於球面中心。球面上電場大小處處相同，且處處垂直穿出：
$$\Phi = E \cdot 4\pi r^2 = \frac{kq}{r^2}\cdot 4\pi r^2 = \frac{q}{\varepsilon_0}$$
$r^2$ 相消。面積隨 $r^2$ 增加，電場隨 $1/r^2$ 減少，兩者恰好抵銷，因此通量與半徑無關。這是平方反比定律的結果。
高斯定律
上述結果可寫成定律：穿出任何封閉面的總電通量，等於面內總電荷除以 $\varepsilon_0$。
$$\oint \vec{E}\cdot d\vec{A} = \frac{Q_{\text{內}}}{\varepsilon_0}$$
以下幾點容易誤解：
- 面外的電荷對通量沒有貢獻。其電場線穿入後又穿出，通量相互抵銷。但它會改變面上每一點的電場。式子左邊的 $\vec{E}$ 是所有電荷造成的總電場，右邊只計面內的電荷
- 通量為 0 不代表電場為 0。面內包圍一正一負等量電荷時，總通量是 0，面上的電場不是 0
- 定律對任何形狀的封閉面都成立，不需要對稱，該面也不必實際存在。高斯面是可自由選取的假想面
- 點電荷不能恰好位於面上，否則該處的電場沒有定義
以對稱性計算電場
高斯定律恆成立，但要藉以求出電場，必須能將 $E$ 提出積分。亦即須選取一個面，使面上各處的電場或者大小相同且垂直穿過，或者與面平行（通量為 0）。這需要電荷分布具有足夠的對稱性。
| 電荷分布 | 選取的高斯面 | 通量 | 電場 |
|---|---|---|---|
| 點電荷或球對稱，球外 | 同心球面 | $E\cdot 4\pi r^2$ | $\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0 r^2}$ |
| 無限長直線，密度 $\lambda$ | 同軸圓柱 | $E\cdot 2\pi r\ell$（兩端為 0） | $\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0 r}$ |
| 無限大平面，密度 $\sigma$ | 穿過平面的柱體 | $2EA$（側面為 0） | $\frac{\sigma}{2\varepsilon_0}$ |
無限長直線的結果即上一課 $2k\lambda/h$ 的極限，兩種方法得到相同的式子。無限大平面的電場與距離無關，這是第 29 課平行板電容的基礎。
真實的棒和板皆非無限大，上述式子只在「距離遠小於尺寸、且離邊緣夠遠」時才是良好的近似。
均勻帶電球是高斯定律最典型的應用。半徑 $R$、總電量 $Q$。球外：高斯面包圍全部 $Q$，結果與點電荷相同。球內半徑 $r$：只包圍體積比例 $(r/R)^3$ 的電荷，因此
$$E\cdot 4\pi r^2 = \frac{Q}{\varepsilon_0}\frac{r^3}{R^3} \quad\Rightarrow\quad E = \frac{kQ}{R^3}r$$
球內的電場與 $r$ 成正比，球心為 0。
導體與靜電屏蔽
金屬內有可自由移動的電子。金屬內部若有電場，電子就會移動，直到電場被抵銷為止。因此靜電平衡時，導體內部電場為 0。此過程極快，一般情況下幾乎瞬間完成。
在導體內部取任何高斯面，電場處處為 0，通量為 0，面內的總電荷也必須為 0。結論是：導體多餘的電荷只位於表面。
取一個很小的柱狀面跨過導體表面，一端在導體內、另一端在表面外側。導體內電場為 0，側面與電場平行，因此只有外側一端有通量，可得表面外側的電場 $E = \sigma/\varepsilon_0$，方向垂直表面。
導體內若有空腔：
- 空腔內沒有電荷時，腔內電場為 0，外部電荷的配置不影響腔內。此即靜電屏蔽，精密儀器以金屬外殼包覆即基於此原理
- 空腔內有電荷 $q$ 時，內表面會感應出 $-q$，使導體內的高斯面所包圍的總電荷為 0。若導體本身淨電荷是 $Q_s$，外表面則帶 $Q_s + q$
以上討論的是靜電，亦即電荷不再移動之後的情況。金屬殼對電磁波的屏蔽效果還與頻率、殼的厚度及開孔有關，不能直接套用。
定律成立不等於可用於計算電場：有限長的棒沒有足夠的對稱性，面上的電場大小不是定值，$E$ 無法提出積分，只能使用上一課分割小段的方法。高斯定律此時仍然正確，只是無法由此求出電場。
重點整理
- 電通量 $\Phi = \oint \vec{E}\cdot d\vec{A}$，穿出為正
- 高斯定律：$\Phi = Q_{\text{內}}/\varepsilon_0$，對任何封閉面都成立
- 面外電荷不影響總通量，但會改變面上的電場；通量為 0 不代表電場為 0
- 求出電場需要球、圓柱或平面的對稱性；沒有對稱時定律仍然成立，只是無法直接求出電場
- 靜電平衡的導體內電場為 0，淨電荷位於表面，空腔內沒有電荷時可屏蔽外部的靜電場
下一課從能量的角度討論電場：電位。
小測驗
穿出某個封閉面的總通量是 0，可以確定什麼？
電荷 $q$ 放在正方體中心，穿出其中一個面的通量是多少？
均勻帶電球，球內距球心 $R/2$ 處的電場，是球面上電場的幾倍？
帶電的實心金屬球達到靜電平衡，多餘的電荷在哪裡？
高斯定律無法直接求出有限長帶電棒電場的原因是什麼？