電位

電位的定義

將書本從一樓移到三樓，無論經由樓梯或電梯，重力位能的變化皆相同，因為重力是保守力，功只與起點、終點有關。

靜電力亦然。點電荷的電場沿半徑方向，只有徑向移動才做功，沿切向移動不做功，任何路徑都可拆解為這兩種小段，因此靜電力是保守力，多個電荷疊加時仍是如此。由此可以定義電位能：

$$\Delta U = -\int_A^B \vec{F}\cdot d\vec{\ell}$$

電位能與試驗電荷的大小有關。除以電荷，得到只由電荷分布決定的量，即電位（electric potential）：

$$V = \frac{U}{q}, \qquad V_B - V_A = -\int_A^B \vec{E}\cdot d\vec{\ell}$$

單位是伏特，$1\ \text{V} = 1\ \text{J/C}$。電位與高度相同，只有差值有意義，零點可自由選取。對於有限大小的電荷分布，通常選取無窮遠為 0。

點電荷的電位，由無窮遠沿徑向積分到 $r$：

$$V = -\int_\infty^r \frac{kq}{r'^2}\,dr' = \frac{kq}{r}$$

多個電荷時，電位直接相加。電位是純量，有正負號，沒有方向，計算較電場的向量疊加簡便。

將電荷 $q$ 由 A 緩慢移到 B，動能不變，外力做的功等於電位能的增加：

$$W_{\text{外力}} = q(V_B - V_A)$$

$1\ \text{nC}$ 的電荷和 $1\ \text{V}$ 的電位差，對應 $1\ \text{nJ}$，下方的小工具採用這組單位。

電場與電位的關係

電位由電場積分而得，反之，電場是電位的導數再加負號。沿 $x$ 方向移動一小段：

$$E_x = -\frac{dV}{dx}$$

三維時每個方向各有一式。此式有三項含義：

• 電場指向電位下降最快的方向。由靜止釋放的正電荷向電位低處運動，負電荷（例如電子）向電位高處運動
• 電位變化越陡，電場越強。電場單位 N/C 也可以寫成 V/m
• 電位為 0 不代表電場為 0，電場為 0 也不代表電位為 0。兩者的關係類似高度與坡度，山頂的高度不是 0，坡度可以是 0

等位線是電位相同的點連成的線（立體時為等位面），類似地圖的等高線。沿等位線移動，電位不變，電場不做功，因此 $\vec{E}\cdot d\vec{\ell} = 0$。這表示電場與等位線處處垂直。相鄰等位線電位差相同時，線越密，電場越強。

靜電平衡的導體是等電位體。靜電平衡時導體內電場為 0，任兩點之間 $\int\vec{E}\cdot d\vec{\ell} = 0$，故整塊導體電位相同，表面也是等位面，因此表面外側的電場必定垂直表面。

電子伏特

原子尺度的能量以焦耳表示並不方便，因此定義另一單位：一個電子通過 $1\ \text{V}$ 電位差所獲得的動能，稱為 1 電子伏特：

$$1\ \text{eV} = 1.602 \times 10^{-19}\ \text{J}$$

以下為幾個典型數值：

• 可見光光子的能量約 $1.7$ 到 $3.3\ \text{eV}$（波長約 750 到 380 nm），第 40 課將會計算
• 氫原子的電子游離需要約 $13.6\ \text{eV}$
• 電子由靜止通過 $100\ \text{V}$，動能是 $100\ \text{eV}$，由 $\frac{1}{2}mv^2$ 得到速率約 $5.9 \times 10^{6}\ \text{m/s}$，約為光速的 2%，因此此處使用非相對論的公式是合理的

注意：電子伏特是能量單位，伏特是電位單位，兩者相差一個電荷的因數。質子和電子通過相同的電位差，動能皆為 $100\ \text{eV}$，但質子質量大得多，速率則小得多。

重點整理

• 靜電力是保守力，因此有電位能；電位 $V = U/q$，只有差值有意義
• 點電荷 $V = kq/r$（無窮遠為零），多個電荷直接相加，有正負號、沒有方向
• 外力緩慢移動電荷的功 $W = q(V_B - V_A)$，與路徑無關
• $E_x = -dV/dx$：電場指向電位下降的方向；等位線與電場垂直；靜電平衡的導體是等電位體
• 電位為 0 不代表電場為 0，反之亦然
• $1\ \text{eV} = 1.602 \times 10^{-19}\ \text{J}$

下一課討論電荷與能量的儲存：電容。