電荷與電場

靜電現象與電荷

冬天穿毛衣走過地毯後觸碰金屬門把，有時會感受到電擊，此時並未連接電源。

摩擦並未製造電荷，只是使電子從一個物體轉移到另一個物體。獲得電子的一方帶負電，失去電子的一方帶正電，雙方的總電荷不變。實驗上至今未觀察到孤立系統的總電荷改變，此即電荷守恆。

電荷也不能取任意值。日常物體的電荷皆為基本電荷 $e \approx 1.602 \times 10^{-19}\ \text{C}$ 的整數倍，此性質稱為量子化。由於 $e$ 極小，一般情況下察覺不到這種不連續性。

兩個點電荷之間的力由庫侖定律描述（球對稱分布的帶電體，在球外也可以如此計算，理由見第 27 課）。庫侖（Coulomb）於 1785 年以扭秤量測帶電小球之間的力，發表了力與距離平方成反比的結果：

$$F = k\frac{\lvert q_1 q_2 \rvert}{r^2}$$

其中 $k = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \approx 8.99 \times 10^{9}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{C}^2$。同號相斥、異號相吸，力沿兩個電荷的連線。

此力非常強。氫原子中電子和質子之間的電力，約為萬有引力的 $2.3 \times 10^{39}$ 倍，且兩者皆與距離平方成反比，因此這個倍數與距離無關。日常物體之間察覺不到電力，是因為正負電荷幾乎完全抵銷。

有多個電荷時，每一對電荷的力分別計算，再做向量相加，其他電荷的存在不會改變這一對電荷之間的力，此即疊加原理。注意這是向量相加，不是將大小相加。

電場的定義與電力線

在某一點放置很小的正試驗電荷 $q_0$，量測其受力，再除以 $q_0$，即為該點的電場：

$$\vec{E} = \frac{\vec{F}}{q_0}$$

除以 $q_0$ 之後，結果只與其他電荷有關，與試驗電荷的大小無關。試驗電荷須夠小，才不會使原有電荷的位置改變。電場的單位是 N/C。負電荷受力的方向與電場相反。

單一點電荷 $q$ 在距離 $r$ 處：

$$E = k\frac{\lvert q \rvert}{r^2}$$

方向沿連線：$q$ 為正時背離電荷，為負時指向電荷。多個電荷時同樣做向量疊加。

電力線是描繪電場的一種方法，規則如下：

• 由正電荷或無窮遠出發，到負電荷或無窮遠結束
• 某一點的切線方向即電場方向
• 從電荷出發的條數正比於電量
• 電場不為 0 的地方，兩條電力線不會相交，因為一點的電場只有一個方向

電力線只是作圖的工具，空間中並不存在實際的線。它也不是帶電粒子的軌跡。電場決定的是加速度，粒子具有速度之後，速度方向與電場不一定相同，如同拋體的速度方向與重力方向不同。

連續分布的電荷

真實的帶電物體含有極大量的電荷，無法逐一計算。作法是將物體分割為許多小段，每一小段 $dq$ 視為點電荷，再全部相加：

$$\vec{E} = \int k\frac{dq}{r^2}\hat{r}$$

此積分的意義是分割、相加並取無限細分的極限，與黎曼和相同。每一小段的方向不同，因此須按分量分別積分。

例如長度 $L$、總電量 $Q$ 均勻分布的直棒，考慮中垂線上距離 $h$ 的點。線電荷密度 $\lambda = Q/L$，位置 $s$ 的小段 $dq = \lambda\,ds$。

左右對稱的兩小段，沿棒方向的分量互相抵銷，只餘垂直分量。垂直分量須乘以 $h/r$，$r^2 = s^2 + h^2$：

$$E = \int_{-L/2}^{L/2} k\lambda\frac{h}{(s^2 + h^2)^{3/2}}\,ds = \frac{kQ}{h\sqrt{h^2 + L^2/4}}$$

以兩個極限情況檢查：

• $h$ 遠大於 $L$：$E \approx kQ/h^2$，在遠處相當於點電荷
• $h$ 遠小於 $L$：$E \approx 2k\lambda/h$，在近處相當於無限長的線，電場與 $1/h$ 成正比，不是 $1/h^2$

電偶極

等量異號的 $+q$ 和 $-q$，相距 $d$，稱為電偶極。許多分子的正負電荷中心不重合，水分子是常見的例子。

定義偶極矩 $p = qd$，方向由負電荷指向正電荷。距離 $r$ 遠大於 $d$ 時，由兩個點電荷的電場相減再做近似，可得：

$$E_{\text{軸上}} \approx \frac{2kp}{r^3}, \qquad E_{\text{中垂線}} \approx \frac{kp}{r^3}$$

兩者皆與 $1/r^3$ 成正比，衰減快於點電荷的 $1/r^2$。原因是在遠處正負電荷的電場幾乎抵銷，只餘下距離（軸上）或方向（中垂線上）略有差異所造成的部分。

因此不帶淨電荷的物體，電力通常只在很近的距離才明顯。

偶極置於均勻電場中時，正負兩端受力大小相等、方向相反，合力是 0，但有力矩 $\tau = pE\sin\theta$，使偶極轉向電場方向。

重點整理

• 起電是電子轉移，總電荷守恆；電荷是 $e$ 的整數倍
• 點電荷（或球對稱分布）的庫侖定律 $F = k\lvert q_1 q_2 \rvert / r^2$，多個電荷時向量相加
• 電場 $\vec{E} = \vec{F}/q_0$ 與試驗電荷無關；負電荷受力與電場相反
• 電力線是作圖工具，不是粒子軌跡
• 連續分布：分割為小段相加，即積分；以對稱性減少須計算的分量
• 偶極遠處的電場與 $1/r^3$ 成正比

下一課改從包圍電荷的封閉面討論，具對稱性時可不必積分。其他電荷組合的模擬見 Uedu Science 的電場模擬；延伸閱讀見讀本的電場與電位。