電容與介電質

電容器與電容

相機閃光燈須在極短時間內輸出很大的功率，電池無法如此快速地供應，因此先將能量緩慢儲存於一個元件，再一次釋放。此元件即電容器。

電容器由兩片互相絕緣的導體構成。接上電池後，一片帶 $+Q$，另一片帶 $-Q$，兩片之間有電位差 $V$。實驗和理論皆顯示 $Q$ 和 $V$ 成正比，比例常數稱為電容：

$$C = \frac{Q}{V}$$

單位是法拉（F），$1\ \text{F} = 1\ \text{C/V}$。電容描述每一伏特所能儲存的電荷，只由形狀、尺寸和中間的材料決定，與是否充電、充電量多寡無關。

最常見的是平行板：面積 $A$、距離 $d$，且 $d$ 遠小於板的邊長，邊緣的電場可以忽略。由第 27 課的高斯定律，板間電場 $E = \sigma/\varepsilon_0$（$\sigma = Q/A$，兩片各貢獻一半）。兩板之間的電位差 $V = Ed$，代入定義：

$$C = \frac{Q}{V} = \frac{\sigma A}{(\sigma/\varepsilon_0)d} = \frac{\varepsilon_0 A}{d}$$

面積越大、距離越小，電容越大。$\sigma$ 相消，因此確實與電荷多寡無關。

法拉是非常大的單位。以空氣間隔 1 mm 製作 1 F 的電容，面積約 $1.1 \times 10^{8}\ \text{m}^2$，約為邊長 10.6 公里的正方形。一般的電容常用 μF、nF、pF。

電容的能量與能量密度

將一小份電荷 $dq$ 由一片移到另一片。此時極板上已有 $q$，電位差是 $q/C$，因此至少須克服電場做功 $dW = (q/C)\,dq$，這部分儲存為電容的能量。電荷越多，移動所需的功越大。由 0 累積到 $Q$：

$$U = \int_0^Q \frac{q}{C}\,dq = \frac{Q^2}{2C} = \frac{1}{2}CV^2 = \frac{1}{2}QV$$

這是儲存的能量，不是電池做的功。儲存的能量是 $\frac{1}{2}QV$ 而不是 $QV$，因為電位差由 0 逐漸升到 $V$，平均只有一半。

以定電壓的電池直接充電時，電池送出每一份 $dq$ 皆做功 $V\,dq$，總共是 $QV$，多於儲存的能量。差額轉為熱，將於第 31 課計算。

代入平行板的 $C = \varepsilon_0 A/d$、$V = Ed$：

$$U = \frac{1}{2}\varepsilon_0 E^2 (Ad)$$

$Ad$ 恰為兩板之間的體積。因此每單位體積的能量是

$$u = \frac{1}{2}\varepsilon_0 E^2$$

此式雖由平行板推導，卻是一般結論：有電場之處即有能量。

實用上有一項上限：電場過強時，空氣會崩潰導電而產生火花。乾燥空氣的崩潰電場約 $3 \times 10^{6}\ \text{V/m}$，因此空氣間隔的電容不能無限提高電壓。

拉開極板時的能量收支

兩片極板異號相吸，拉開時外力須做正功。以下以 $d \to 2d$ 核算能量，$U_0$ 是初始能量。

斷開時：外力的功全部轉為電容的能量。電場不變而體積加倍，能量密度公式也得到 $2U_0$。

連接時：電容的能量反而減少，外力又做正功，這兩部分能量皆流入電池。$Q$ 減少時，電荷被推回電池，相當於對電池充電，電池獲得 $V\,\Delta Q = U_0$，恰等於外力的 $U_0/2$ 加上電容減少的 $U_0/2$。

兩片之間的吸引力計算如下。每片感受到的是另一片造成的電場 $E/2$，不包含自身，因此 $F = Q\cdot\frac{E}{2} = \frac{Q^2}{2\varepsilon_0 A}$。電荷固定時此力與距離無關，外力的功即 $F\,\Delta d$，與上表一致。

介電質

在極板之間填入絕緣材料（介電質），電容會變為 $\kappa$ 倍，$\kappa$ 稱為介電常數：

$$C = \frac{\kappa\varepsilon_0 A}{d}$$

介電質內的分子在電場中會被拉成或轉成偶極，正負兩端朝相反方向排列。材料內部正負互相抵銷，但靠近極板的表面會留下一層與極板異號的極化電荷。這層電荷的電場與原電場方向相反，因此同樣的自由電荷 $Q$，板間的電場變為 $E/\kappa$，電位差也變為 $V/\kappa$，於是 $C = Q/V$ 增大。

此處的電荷並未離開分子，與導體內可自由移動的電子不同，因此電場只是減弱，不會歸零。

常見材料的介電常數（約略值，隨溫度與頻率改變）：

除了增加電容，許多介電質也比空氣更能承受高電場，因此許多實用的電容器皆填入介電質。

串聯與並聯

並聯：兩端相連，電壓相同，電荷相加，相當於增加面積：

$$C_{\text{並}} = C_1 + C_2 + \cdots$$

串聯：依序相接。中間的導體與外界絕緣，總電荷維持原來的 0，因此左片的 $-Q$ 和右片的 $+Q$ 必須等量。因此每個串聯電容的電荷相同，電壓相加：

$$\frac{1}{C_{\text{串}}} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2} + \cdots$$

串聯的總電容小於其中最小的電容，相當於增加距離。串聯時小電容分配到的電壓較大，額定電壓相同時，小電容會先超過額定值。

重點整理

• $C = Q/V$ 只由幾何與材料決定；平行板（$d$ 遠小於邊長、介電質填滿兩板之間）$C = \kappa\varepsilon_0 A/d$
• 能量 $U = \frac{1}{2}CV^2$，能量密度 $u = \frac{1}{2}\varepsilon_0 E^2$（介電質中須乘以 $\kappa$）
• 應先確定電源為連接（$V$ 固定）或斷開（$Q$ 固定），再判斷其他量的變化
• 連接電源時拉開極板，能量流回電池
• 介電質的極化電荷抵銷部分電場，因此相同電荷下電壓降低、電容增大
• 並聯相加，串聯倒數相加

下一課討論電荷的流動：電流與電路。