電流、電阻與直流電路

電流與電子漂移速度

按下開關，燈幾乎立刻發亮。常見的想法是電子由開關高速移動到燈泡，但以下的計算顯示並非如此。

電流是每單位時間通過某截面的電荷，$I = dQ/dt$，單位安培（A）。電流的方向規定為正電荷移動的方向。這項規定在電子發現之前即已確立，而金屬中移動的是帶負電的電子，因此金屬中電子的移動方向與電流方向相反。列方程式時依電流方向計算，結果仍然正確，不需要修改。

電流與電子的平均移動速度（漂移速度 $v_d$）的關係如下：長 $v_d\Delta t$ 的一段導線內的電子，在 $\Delta t$ 內全部通過截面，因此

$$I = n e A v_d$$

$n$ 是自由電子的數量密度。銅的密度約 $8.96\ \text{g/cm}^3$、莫耳質量約 $63.55\ \text{g/mol}$，假設每個原子貢獻一個自由電子，$n \approx 8.5 \times 10^{28}\ \text{m}^{-3}$。截面 $1\ \text{mm}^2$ 的銅線通過 $1\ \text{A}$：

$$v_d = \frac{I}{neA} \approx 7.4 \times 10^{-5}\ \text{m/s}$$

移動一公尺需要將近 4 小時。燈立刻發亮的原因是導線內原本就充滿電子，開關接通後，電場沿導線迅速建立（傳遞速度是光速的相當比例），各處的電子幾乎同時開始移動，如同原本已裝滿水的水管。

電子的隨機運動速率本身很高，但方向雜亂、互相抵銷，漂移速度只是疊加其上的微小平均值。

歐姆定律與電功率

歐姆（Ohm）在 1827 年的著作中提出：許多導體在溫度固定時，電流正比於電壓。比例常數以電阻 $R$ 表示：

$$V = IR$$

須注意適用範圍。$R = V/I$ 是電阻的定義，適用於任何元件；歐姆定律則是指「$R$ 不隨電壓改變」，僅部分材料在部分條件下成立。金屬在溫度固定時近似成立；燈絲通電後溫度升高，電阻隨之變大；二極體則完全不符合。

電阻由形狀和材料決定：

$$R = \rho\frac{L}{A}$$

$\rho$ 是電阻率。銅在 20 °C 約 $1.7 \times 10^{-8}\ \Omega\cdot\text{m}$，因此長 1 m、截面 $1\ \text{mm}^2$ 的銅線電阻僅約 $0.017\ \Omega$，電路圖中將導線視為無電阻是合理的。

電荷 $dq$ 通過電位差 $V$，電位能減少 $V\,dq$。在電阻中這些能量轉為熱，功率為：

$$P = IV = I^2R = \frac{V^2}{R}$$

串聯：電流相同，$R_{\text{串}} = R_1 + R_2 + \cdots$。並聯：電壓相同，$\frac{1}{R_{\text{並}}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} + \cdots$。與電容的情形相反。

克希荷夫定律

串並聯公式無法處理所有電路，例如含兩個電源的電路。克希荷夫（Kirchhoff）在 1845 年提出的兩條定律可處理這類電路，前提是集總電路（電路尺寸小到電壓電流的變化可視為同時發生，電荷只在元件內累積）且沒有變化的磁場穿過迴路。這兩條定律對應兩項守恆律：

節點定律：流入任一節點的電流總和等於流出的總和。這是電荷守恆：穩定狀態下電荷不會堆積在節點。

迴路定律：沿任一封閉迴路一周，電位變化總和為 0。原因是電位為位置的函數，回到起點時電位也回到原值，對應能量守恆。第 34 課將說明有變化的磁場時須另行處理。

解題步驟：

1. 為每個分支設定電流與方向；方向假設錯誤並無影響，解出負值即代表實際方向相反
2. 列出節點方程式
3. 列出迴路方程式：順電流方向經過電阻，電位下降 $IR$；由電池負極到正極，電位上升 $\mathcal{E}$
4. 求解聯立方程式

電動勢與內阻：電池藉化學反應將正電荷推向高電位，每單位電荷提供的能量是電動勢 $\mathcal{E}$。真實電池內部也有電阻 $r$，輸出電流 $I$ 時端電壓為

$$V = \mathcal{E} - Ir$$

因此汽車發動時大燈會短暫變暗：啟動馬達的電流很大，端電壓明顯下降。

重點整理

• 電流方向是正電荷移動的方向，金屬中的電子方向相反
• 漂移速度很低，燈立刻發亮是因為電場迅速建立
• $V = IR$；歐姆定律指「$R$ 固定」，有適用範圍；$R = \rho L/A$
• $P = IV = I^2R = V^2/R$
• 集總電路、沒有變化的磁場時：節點定律是電荷守恆，迴路定律來自電位是位置的函數
• 真實電池端電壓 $V = \mathcal{E} - Ir$

下一課將電容接入電路，討論充電所需的時間。進一步練習可使用 Uedu Science 的直流電路模擬。