RC 電路

RC 電路的充電過程

相機閃光燈使用後須等待數秒才能再次使用，部分電器拔除插頭後指示燈仍會持續亮一段時間才逐漸熄滅。這些現象的共同原因是：電容與電阻相接時，電壓不會瞬間改變。

將電池 $V$、電阻 $R$、電容 $C$ 接成迴路。開關接通的瞬間，電容尚無電荷，兩端電壓為 0，因此電池的電壓全部加在電阻上，電流為最大值 $V/R$。電荷累積後，電容的電壓上升，電阻上的電壓減小，電流隨之減小。電流越小，電容充電越慢。

以迴路定律表示，$q$ 為電容的電荷，電流 $i = dq/dt$：

$$V - iR - \frac{q}{C} = 0 \quad\Rightarrow\quad R\frac{dq}{dt} = V - \frac{q}{C}$$

這是一條微分方程式：$q$ 的變化率取決於 $q$ 本身。以分離變數可解出（$t = 0$ 時 $q = 0$）：

$$V_C(t) = V\left(1 - e^{-t/RC}\right), \qquad i(t) = \frac{V}{R}e^{-t/RC}$$

電容電壓與最終值的差距，每經過相同的時間便縮小相同的比例。放射性衰變、熱水冷卻的數學形式與此相同。

$\tau = RC$ 稱為時間常數，單位是秒（$\Omega \cdot \text{F} = \frac{\text{V}}{\text{A}} \cdot \frac{\text{C}}{\text{V}} = \text{s}$）。$R$ 越大電流越小，$C$ 越大所需的電荷越多，充電都會變慢。

63% 的來源與放電曲線

將 $t = \tau$ 代入：$V_C = V(1 - e^{-1}) \approx 0.632\,V$。因此「一個時間常數充到 63%」並非經驗規則，而是 $e^{-1} \approx 0.368$ 的結果。

放電時移除電池，電容經電阻放電，迴路定律給出 $V_C(t) = V_0 e^{-t/RC}$，這是另一條曲線，快慢同樣由 $\tau$ 決定。電壓降至一半的時間為 $\tau\ln 2 \approx 0.693\,\tau$。

由此可得量測電容的方法：已知 $R$，曲線達到 63.2% 的時間即為 $\tau$，再由 $C = \tau/R$ 求出電容。

以下兩個時刻容易混淆：

• 剛接通（電容原本未帶電）：電容電壓仍為 0，電容相當於導線，電流為 $V/R$
• 經過很長時間後：電流趨近 0，電容相當於斷路，電容電壓等於 $V$

須注意電容的電壓不能瞬間改變（否則電流須為無限大），但電流可以，開關接通時電流即由 0 躍升至 $V/R$。

充電過程的能量分配

以下分析將電容由 0 充電到 $V$ 的能量收支。

電池送出總電荷 $Q = CV$，每單位電荷皆由電池獲得 $V$ 的能量，因此電池做的功為 $QV = CV^2$。

電容儲存的能量為 $\frac{1}{2}CV^2$（第 29 課）。

其餘一半轉為電阻的熱。以積分驗算如下：

$$\int_0^\infty i^2 R\,dt = \int_0^\infty \frac{V^2}{R}e^{-2t/RC}\,dt = \frac{V^2}{R}\cdot\frac{RC}{2} = \frac{1}{2}CV^2$$

$R$ 被消去。電阻大時電流小，但充電時間長；電阻小時電流大，但充電時間短，兩項效果恰好抵銷。因此以一顆電池直接將電容由 0 充飽時，無論 $R$ 大小，都有一半的能量轉為熱。

要減少此損失，可採分段充電：先以 $V/2$ 充飽，再換為 $V$，每段的熱為 $\frac{1}{2}C(V/2)^2$，合計 $\frac{1}{4}CV^2$，僅為原本的一半。分成 $N$ 段時，熱為原本的 $1/N$。關鍵在於每次電池與電容之間的電壓差要小。

RC 電路的應用

• 閃光燈：先以小電流緩慢將電容充飽，再經閃光管在極短時間內放電，相同的能量以很大的功率釋放
• 定時：電容電壓到達某個值時觸發下一個動作，時間由 $RC$ 決定
• 按鍵去彈跳：機械按鍵接通時會抖動，RC 可將快速的抖動平滑化
• 濾波：電壓變化快於 $\tau$ 時，電容無法跟隨，因此 RC 可濾除高頻（截止頻率 $f = \frac{1}{2\pi RC}$），也用於平滑電源的波動
• 動態記憶體：DRAM 每個位元儲存於一個小電容中，電荷會逐漸洩漏，因此須定期更新

重點整理

• 迴路定律給出 $R\,dq/dt = V - q/C$，解為指數形式
• $\tau = RC$；$\tau$ 時充到 63.2%，$5\tau$ 時約 99.3%
• 電容原本未帶電時，剛接通相當於導線；經過很長時間後相當於斷路；電容電壓不會瞬間改變
• 以電池將電容由 0 充飽，電池的功有一半轉為熱，與 $R$ 無關

調整更多參數可使用 Uedu Science 的 RC 電路模擬。第 35 課將進一步接入電感。