光子與物質波

黑體輻射與普朗克公式

鐵條置於爐火中，顏色依序由暗紅、橘黃轉為接近白色。溫度決定顏色，且不同材料大致相同：這種由溫度決定的熱輻射，理想化後稱為黑體輻射（完全吸收所有入射光的物體發出的輻射）。

十九世紀末的古典物理在此遭遇困難。將輻射視為各種波長的電磁駐波，每個模式平均分得能量 $kT$，得到瑞利－金斯式，該式在波長很短時趨向無窮大。積分後總能量也是無窮大。這顯然與事實不符，後來稱為紫外災難。

1900 年普朗克提出一條符合實驗的公式。推導時，他必須假設物質與輻射交換能量時是一份一份的，每份 $E = hf$，$h$ 是後來以其命名的常數：

$$B_\lambda(T) = \frac{2hc^2}{\lambda^5}\,\frac{1}{e^{hc/(\lambda kT)} - 1}$$

高頻模式的一份能量很大，遠大於 $kT$ 時幾乎無法激發，因此短波長的部分受到抑制，不會發散。普朗克公式有兩項結果：

• 維恩位移定律：峰值波長 $\lambda_{\text{peak}}\,T \approx 2.898\times 10^{-3}$ m·K。溫度越高，峰值越往短波長移動。太陽表面約 5800 K，峰值約 500 nm；人體約 310 K，峰值約 9.3 μm，位於紅外線
• 史蒂芬－波茲曼定律：總輻射功率正比於 $T^4$

由此可解釋鐵條的顏色：在爐火的溫度下，峰值仍在紅外線，可見光中僅紅光一端較強，因此最先呈現暗紅色。

光電效應

光照射金屬可使電子逸出，稱為光電效應。另一片電極接上反向電壓 $V$ 時，只有動能足夠大的電子能夠到達。電流恰好變為 0 的電壓稱為截止電壓 $V_s$，因此電子的最大動能為 $eV_s$。實驗結果如下：

1. 在一般的光強度下，光的頻率低於某個截止頻率 $f_0$ 時，光再強也沒有電子逸出
2. 電子的最大動能隨頻率線性增加，與光強度無關；光強度只影響電子的數量
3. 頻率足夠高時，即使光很弱也幾乎立即有電子逸出（1928 年 Lawrence 與 Beams 以極短的閃光進行此測試）

若光是能量連續分布的古典波，電子又如古典粒子般逐漸吸收能量，則光越強，電子應獲得越多能量；頻率不應有門檻；光很弱時須等待能量累積。例如：光強 0.01 W/m² 照射一個原子大小的面積（約 $10^{-19}$ m²），累積 2.3 eV 需約 6 分鐘。

1905 年愛因斯坦提出，光的能量本身即為一份一份，每份 $hf$，一個電子一次只吸收一個光子，克服功函數 $\phi$（將電子拉出金屬所需的最小能量）之後，其餘成為動能：

$$K_{\max} = eV_s = hf - \phi$$

三項結果由此得到解釋：$hf < \phi$ 時一份能量不足，份數再多，每個電子仍只獲得一份；光越強只是份數越多；吸收一次完成，無須累積。

這是一般光強度下的結論。雷射強度達一定程度時，一個電子可幾乎同時吸收多個光子，稱為多光子光電發射，此時頻率低於 $f_0$ 也可能使電子逸出；一般光源下此機率小到可以忽略。

此式也提供測量 $h$ 的方法。$V_s$ 對 $f$ 作圖應為直線，斜率 $h/e$ 與金屬無關。1916 年 Millikan 的精密實驗驗證了這條直線，得到與普朗克相符的 $h$。

常見金屬的功函數約 2 到 5 eV（鈉約 2.3 eV、銅約 4.7 eV），數值隨表面狀態改變，不同資料差距頗大。

光子與物質波

光的能量為一份一份，每一份稱為光子（photon）：

$$E = hf = \frac{hc}{\lambda}, \qquad p = \frac{E}{c} = \frac{h}{\lambda}$$

常用的換算是 $hc \approx 1240$ eV·nm，500 nm 的光子約 2.48 eV。光子的靜止質量是 0（第 39 課的 $E = pc$）。

動量的證據來自康普頓散射（1923 年）：X 光入射電子，散射後波長變長，如同兩個粒子碰撞般滿足能量與動量守恆：

$$\Delta\lambda = \frac{h}{m_e c}(1 - \cos\theta)$$

$h/(m_e c) \approx 2.43$ pm。此變化量很小，對可見光幾乎無法觀察，因此須使用 X 光。

「光子是粒子」的說法須謹慎。光子不是一顆有固定軌跡的小球。將雙狹縫的光減弱到一次只有一個光子，屏上每次只出現一個點，累積後仍為干涉條紋。要得到此結果，必須將兩條路徑的波的振幅相加。較恰當的說法是：光的傳播與干涉以波描述，光與物質交換能量時是一份一份的，兩者由量子力學統一描述，而非有時變成波、有時變成粒子。

此外，光電效應雖在歷史上引出光子的概念，但並不足以嚴格證明光子存在：將電子能階量子化、光仍視為古典波，也能得到大部分結果（Lamb 與 Scully，1968 到 1969 年）。更直接的證據是後來的光子反聚束實驗（Kimble、Dagenais 與 Mandel，1977 年）。

物質波。1924 年德布羅意在博士論文中提出：光既有波和粒子的兩面，電子也應如此，其波長為

$$\lambda = \frac{h}{p}$$

電子由電壓 $V$ 加速，低速時 $p = \sqrt{2 m_e e V}$。1927 年 Davisson 與 Germer 以 54 eV 的電子入射鎳晶體，在約 50 度觀察到強度的峰值，與波的繞射相符。同時期 G. P. Thomson 也使電子穿過金屬薄膜而得到繞射圖樣。

此波長對日常物體小到無法觀測：一顆 145 g、40 m/s 的棒球，$\lambda$ 約 $10^{-34}$ m，比原子核（約 $10^{-15}$ m）小約 19 個數量級。因此棒球僅呈現粒子的行為。

不確定性原理

波具有一項數學性質：要將波集中在很小的範圍，必須疊加許多不同波長的成分；單一波長的波必定無限長。在物質波中，$\lambda$ 對應動量，因此位置越集中，動量的分布越廣。將分布的標準差記為 $\sigma_x$、$\sigma_p$，對任何量子狀態皆有

$$\sigma_x\,\sigma_p \geq \frac{\hbar}{2}, \qquad \hbar = \frac{h}{2\pi}$$

此即不確定性原理（海森堡，1927 年）。其意義常被誤解，特別是以下幾點：

• 它並非指儀器不夠精確。再好的儀器亦然，因為下限來自狀態本身
• 它不等於「量測會干擾粒子」。海森堡當年的討論確實使用量測干擾的例子，但上述不等式描述的是狀態。其操作意義是：製備許多份完全相同的狀態，一半測量位置，一半測量動量，兩組結果的標準差即滿足此不等式，每一份只測量一次，並未先測量位置再測量動量
• 它並非表示「粒子實際上有確定的位置和動量，只是未被得知」。量子力學的狀態並未同時給出兩個確定的值

它也有實際的結果：將電子限制在原子大小的範圍，動量必有一定的分布，動能不可能為 0，這正是原子不會塌縮、下一課的基態能量不為 0 的原因之一。

由 $k = 2\pi/\lambda$，$p = \hbar k$，不等式也可寫成 $\sigma_x\sigma_k \geq \frac{1}{2}$，這屬於傅立葉分析的數學：只有高斯形狀的波包才達到等號。

重點整理

• 黑體輻射：普朗克假設能量一份一份交換，避開紫外災難；$\lambda_{\text{peak}}T$ 是常數，總功率正比於 $T^4$
• 光電效應：一般光強度下有截止頻率，最大動能 $eV_s = hf - \phi$ 與光強度無關；斜率給出 $h$
• 光子 $E = hf$、$p = h/\lambda$，靜止質量 0；光子不是有軌跡的小球，干涉仍須以波的振幅相加才能算出
• 物質波 $\lambda = h/p$，受電子繞射實驗支持；日常物體的波長過小，無法觀察
• $\sigma_x\sigma_p \geq \hbar/2$ 是狀態本身的性質，不是儀器不精確或量測干擾

下一課以波函數描述原子與能階的量子化。延伸閱讀：讀本的量子物理入門；Uedu Science 有黑體輻射、光電效應與單粒子雙狹縫模擬。