狹義相對論

光速不變與時間膨脹

在等速行駛的火車上向前拋球，月台上的觀察者測得的球速為球速加車速，這是日常經驗。光的情況則不同：真空中的光速，每一個慣性觀察者測得的值都相同，$c = 299\,792\,458$ m/s，與光源或觀察者的運動無關。

1905 年愛因斯坦將狹義相對論建立在兩條公設上：

1. 相對性原理：物理定律在所有慣性座標中形式相同。等速直線運動的實驗室，無法藉由內部的實驗判斷自身是否「真的」在運動
2. 光速不變：真空中的光速對所有慣性觀察者相同

（1887 年的邁克生－莫雷實驗未測得地球相對於「以太」的運動。今日光速不變已有大量實驗支持。）

第二條與速度相加的直覺衝突。要使兩條同時成立，必須放棄「時間對所有觀察者相同」的假設。

以下用最簡單的鐘說明。光鐘由兩片相距 $h$ 的鏡子構成，光在其間往返，往返一次計為一次滴答。

在鐘靜止的座標中，一次滴答的時間為 $\Delta t_0 = \frac{2h}{c}$。在鐘以速度 $v$ 移動的座標中，光的路徑是斜線。設一次滴答的時間為 $\Delta t$，半趟中鐘前進 $v\Delta t/2$，光行進 $c\Delta t/2$，由畢氏定理：

$$\left(\frac{c\Delta t}{2}\right)^2 = h^2 + \left(\frac{v\Delta t}{2}\right)^2$$

解得：

$$\Delta t = \gamma\,\Delta t_0, \qquad \gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - v^2/c^2}}$$

此處用到光速不變：兩個座標中光的速率都是 $c$，只是路徑長度不同，因此時間不同。移動的鐘走得較慢，稱為時間膨脹。$\Delta t_0$ 是在鐘靜止的座標中測得的時間，稱為固有時（proper time）。

常用 $\beta = v/c$。$\gamma$ 恆不小於 1，在日常速度下極接近 1：噴射客機約 300 m/s，$\gamma - 1$ 約 $5\times 10^{-13}$，因此日常生活中無法察覺。

同時的相對性與長度收縮

設一節車廂正中央發出一道閃光，光同時向前後兩端行進。在車上的觀察者看來：兩端距離相同、光速相同，因此光同時到達兩端。

在月台上的觀察者看來：光速仍為 $c$，但車廂在前進，後端迎向光、前端遠離光，因此光先到達後端。

兩位觀察者的判斷皆正確。在不同地點發生的兩個事件是否同時，取決於座標。這一點是理解其他效應的關鍵。

長度收縮：測量一根移動的尺的長度，必須在同一時刻讀取兩端的位置。同時既為相對，不同座標測得的長度也不同：

$$L = \frac{L_0}{\gamma}$$

$L_0$ 是尺靜止時的長度（固有長度）。只有沿運動方向會收縮，垂直方向不變。這並非物體受力而壓縮，也不是視覺誤差，而是兩個座標劃分「同一時刻」的方式不同。

μ 子提供了直接的檢驗。宇宙射線在高空碰撞產生 μ 子，其平均壽命約 2.197 μs（靜止時）。即使以接近光速飛行，$c\tau$ 也只有約 660 m，但在海平面仍測得大量的 μ 子。

Frisch 與 Smith 在 1963 年發表的實驗，比較美國華盛頓山（海拔約 1900 m）和海平面的 μ 子數：山上每小時約 563 顆，海平面約 412 顆。若沒有時間膨脹，預期僅剩約 27 顆。

同一現象可由兩個座標計算：

• 地面座標：μ 子的壽命延長為 $\gamma\tau$，可行進的距離變為 $\gamma\beta c\tau$
• μ 子座標：壽命仍為 $\tau$，但大氣層迎面而來，厚度收縮為 $H/\gamma$

兩種算法給出相同的存活比例。

勞侖茲轉換與時空圖

事件是在某地某時發生的現象，以 $(x, ct)$ 表示（將時間乘上 $c$，使兩個座標的單位相同）。$S'$ 以速度 $\beta c$ 沿 $+x$ 方向相對 $S$ 運動時，兩個座標的關係是勞侖茲轉換：

$$x' = \gamma(x - \beta\,ct), \qquad ct' = \gamma(ct - \beta x)$$

（$y$、$z$ 不變。）低速時 $\gamma \approx 1$、$\beta x$ 項可以忽略，即回到牛頓力學的 $x' = x - vt$、$t' = t$。時間膨脹、長度收縮和同時的相對性皆可由這兩條推出。

時空圖將事件繪為平面上的點，光為斜率 $\pm 1$ 的直線。不同觀察者的座標軸不同，但兩個事件之間有一個量對所有觀察者相同，稱為時空間隔：

$$s^2 = (c\Delta t)^2 - \Delta x^2 = (c\Delta t')^2 - \Delta x'^2$$

$\Delta x$、$c\Delta t$ 是兩個事件的座標差。將其中一個事件置於原點時，可寫成 $(ct)^2 - x^2$，下面的小工具即採此形式（A 在原點）。代入勞侖茲轉換可驗證其不變。其正負決定兩個事件的關係：

先後順序可以反轉而不造成因果錯亂，原因是只有類空的事件對才會如此，而這類事件彼此無法影響。

速度相加也不再是直接相加。物體在 $S'$ 中的速度為 $u$，$S'$ 相對 $S$ 的速度為 $v$，在 $S$ 中的速度為：

$$w = \frac{u + v}{1 + uv/c^2}$$

$u$、$v$ 都小於 $c$ 時，$w$ 也小於 $c$；$u = c$ 時 $w = c$，此即光速不變。

能量、動量與靜止能量

力學也須隨之修改，才能使動量與能量守恆在所有慣性座標中成立。物體的質量 $m$（現今一律指靜止質量，是不隨座標改變的量）和速度 $v$ 給出：

$$\vec{p} = \gamma m\vec{v}, \qquad E = \gamma mc^2$$

$E$ 是總能量。物體靜止時 $\gamma = 1$，仍具有 靜止能量 $E_0 = mc^2$。總能量減去靜止能量即為動能：

$$K = (\gamma - 1)mc^2$$

低速時 $\gamma - 1 \approx \frac{1}{2}\beta^2$（泰勒展開），即回到 $\frac{1}{2}mv^2$。

能量與動量的關係對有質量與無質量的粒子皆成立：

$$E^2 = (pc)^2 + (mc^2)^2$$

光子的 $m = 0$，因此 $E = pc$，光子必定以光速前進。

應避免的舊說法：許多舊書寫「質量隨速度增加」，將 $\gamma m$ 稱為「相對論質量」。現今物理學通用的說法是質量 $m$ 不變，改變的是 $\gamma$，亦即能量、動量與速度的關係。$E = mc^2$ 式中的 $m$ 是靜止質量，此式給出的是靜止能量；運動時的總能量是 $E = \gamma mc^2$。

有質量的物體無法達到光速，因為 $v \to c$ 時 $\gamma \to \infty$，所需能量趨向無窮大。粒子加速器中的電子能量不斷提高，速度卻只是越來越接近 $c$。

質能關係的意義：靜止能量可與其他形式的能量互相轉換。束縛系統的質量小於各部分分開時的質量總和，差值乘以 $c^2$ 即為結合能。這不限於核反應，化學反應亦然，只是比例小得多：燃燒甲烷的質量變化約僅百億分之一，磅秤無法測得。第 42 課將討論原子核，其比例大到可直接由質量計算能量。

雙生子問題

雙胞胎之一留在地球，另一人以 $\beta = 0.8$ 飛至 4 光年外再返回（$\gamma = 5/3$）。

• 地球方面：往返 8 光年，需時 $8/0.8 = 10$ 年
• 太空人方面：每段的固有時為 $\sqrt{(c\Delta t)^2 - \Delta x^2} = \sqrt{5^2 - 4^2} = 3$ 年，共 6 年

返回時太空人年輕 4 歲。表面上的矛盾在於：太空人也可以主張地球在運動、地球的鐘較慢。

然而兩人並不對稱。地球大致始終位於同一個慣性座標，太空人則在折返時更換慣性座標。去程與回程分別屬於兩個不同的慣性座標，太空人判斷「地球此刻幾歲」的同時線在折返時會跳動（此處用到同時的相對性）。兩人的時空路徑不同，而經歷的時間即為路徑的固有時，因此結果不同。

這類預測已有實驗支持。除了前述的 μ 子，1971 年 Hafele 與 Keating 將銫原子鐘帶上客機環繞地球一圈，與地面的鐘比較，結果與相對論的預測相符（該實驗同時包含重力效應，屬於廣義相對論的部分）。

重點整理

• 兩條公設：物理定律在慣性座標中形式相同；真空光速對所有慣性觀察者相同
• 時間膨脹 $\Delta t = \gamma\Delta t_0$；長度收縮 $L = L_0/\gamma$（只在運動方向）；不同地點的事件是否同時取決於座標
• 勞侖茲轉換；兩事件的間隔 $(c\Delta t)^2 - \Delta x^2$ 不變；只有類空的事件對才可能改變先後順序，它們沒有因果關係
• $\vec{p} = \gamma m\vec{v}$、$E = \gamma mc^2$、$K = (\gamma - 1)mc^2$；$m$ 是不變的靜止質量，$mc^2$ 是靜止能量；不採「質量隨速度增加」的說法
• 有質量的物體須有無窮大的能量才能達到光速

下一課回到光：光能量的量子化。延伸閱讀：讀本的狹義相對論。