原子核與放射性

原子核與結合能

一公斤的鈾 235 全部分裂釋放約 $8\times 10^{13}$ J，相當於燃燒約 2800 噸標準煤的能量。化學反應改變的是電子的狀態，每個原子釋放的能量約為幾 eV；核分裂每個原子核釋放約 200 MeV，高出數千萬倍。差距來自兩種反應涉及的尺度不同。

原子核由質子和中子組成，兩者合稱核子（nucleon）。記號 $^{A}_{Z}\text{X}$：$Z$ 是質子數，決定元素的種類；$A$ 是質量數，即核子的總數。質子數相同、中子數不同的是同位素，例如碳 12 和碳 14，化學性質幾乎相同，原子核的性質差異很大。

原子核很小，半徑約 $1.2\,A^{1/3}$ fm（$1\ \text{fm} = 10^{-15}$ m），鈾核約 7.4 fm，而原子的大小約 $10^{-10}$ m。原子核中的質子彼此有很強的庫侖斥力，能維持結合是因為強核力：此力很強，但屬於短程力，作用距離僅約 1 到 2 fm。

結合能（binding energy）是將原子核拆解為個別自由核子所需的能量。第 39 課已指出：束縛系統的質量小於各部分總和，差值乘以 $c^2$ 即為結合能。原子核的這項比例大到可直接由質量計算：

$$B = \left[Z m_{\text{H}} + (A - Z) m_n - M\right]c^2, \qquad 1\ \text{u}\cdot c^2 = 931.494\ \text{MeV}$$

$M$ 是原子質量，$m_{\text{H}}$ 是氫原子質量（採用氫原子而非質子，兩邊的電子才會抵消），$m_n$ 是中子質量。

以氦 4 為例（質量取自原子質量評估表 AME2020）：$2(1.007825) + 2(1.008665) - 4.002603 = 0.030377$ u，乘以 931.494 MeV/u 得約 28.3 MeV，每個核子約 7.07 MeV。

核分裂與核融合的能量來源

曲線形狀可以由兩種力的競爭理解：

• 輕原子核的核子多位於表面，相鄰核子少，因此每核子結合能小，隨 $A$ 快速上升
• 強核力是短程的，每個核子只與鄰近的核子作用；庫侖斥力則是長程的，每個質子都排斥其他所有質子。因此 $A$ 很大時，斥力的影響越來越大，曲線緩慢下降

曲線在鐵、鎳附近最高，鎳 62 約 8.795 MeV，鐵 58 約 8.792 MeV，鐵 56 約 8.790 MeV。常見「鐵 56 最穩定」的說法，但就每核子結合能而言最高的是鎳 62。鐵 56 則是平均每個核子質量最小的原子核，兩種比較方式的差別來自質子和中子的比例，數值差距都非常小。

只要反應後的核子平均結合得更緊，就會放出能量。曲線兩端皆可朝此方向進行：

• 核分裂（fission）：重核分裂為兩個中等質量的核，每核子結合能由約 7.6 MeV 上升至約 8.4 MeV。一個鈾核有 235 個核子，釋放的能量約 200 MeV。小工具中的反應算出約 173 MeV，這是分裂當下的部分；產物之後的衰變還會釋放更多，合計約 200 MeV
• 核融合（fusion）：輕核結合為較重的核，曲線很陡，因此每個核子釋放的能量更大。氘氚融合僅 5 個核子即釋放約 17.6 MeV

連鎖反應：鈾 235 吸收一個中子分裂之後，平均釋放 2 到 3 個中子，這些中子可再引發分裂。平均每次分裂引發下一次分裂的數量稱為增殖因數 $k$：$k = 1$ 維持穩定（核電廠運轉的狀態），$k > 1$ 快速成長。歷史上 1938 年 Hahn 與 Strassmann 在中子照射過的鈾中發現鋇，1939 年 Meitner 與 Frisch 解釋此為原子核分裂。

融合須克服庫侖斥力，因此需要極高的溫度。太陽核心約 1500 萬 K 仍不足以使質子依古典方式靠近，須藉由上一課的穿隧才會發生。太陽的整體結果是 4 個氫變為 1 個氦，靜止能量減少約 0.7%，這部分成為產物的動能與輻射。

放射性衰變與半衰期

不穩定的原子核會自發轉變為其他原子核，放出粒子或光子，稱為放射性：

α 粒子須穿過原子核邊緣的庫侖位能障，上一課的穿隧解釋了半衰期差距極大的原因：穿透機率對位能障極為敏感。

衰變最重要的性質是每個原子核都獨立、隨機。單一原子核的衰變時刻完全無法預測，但在任一小段時間 $dt$ 內衰變的機率皆固定為 $\lambda\,dt$，與其已存在的時間無關。大量原子核合計則呈現確定的規律：

$$\frac{dN}{dt} = -\lambda N \quad\Rightarrow\quad N(t) = N_0 e^{-\lambda t} = N_0\left(\frac{1}{2}\right)^{t/T_{1/2}}$$

這是可以分離變數的微分方程式，其意義是現存的數量越多，單位時間衰變的數量越多。

半衰期 $T_{1/2} = \frac{\ln 2}{\lambda}$ 是數量減半的時間。兩個半衰期之後剩下 1/4，而非 0。

原子核沒有老化現象：經過一個半衰期仍未衰變的原子核，在接下來一個半衰期內衰變的機率仍為 1/2。

指數曲線是平均的行為，實際數量有統計波動。$N_0$ 顆原子經過一個半衰期，剩餘比例的標準差為 $\frac{1}{2\sqrt{N_0}}$：100 顆時約 5 個百分點，2500 顆時約 1 個百分點。

碳 14 定年與輻射劑量

大氣中的氮被宇宙射線撞擊，不斷產生碳 14。活體生物持續與環境交換碳，體內碳 14 的比例與當時的大氣大致相同；死後不再交換，碳 14 只會衰變。比較剩餘比例即可估算年代：

$$t = T_{1/2}\,\frac{\ln(N_0/N)}{\ln 2}$$

目前建議的碳 14 半衰期為 5700 ± 30 年。應留意以下幾點：

• 實驗室回報的「傳統放射性碳年代」為求比較一致，仍使用舊的 Libby 半衰期 5568 年
• 大氣碳 14 的比例並非固定，因此須以樹輪等資料建立的校正曲線換算成曆年
• 約 5 萬年之後剩餘的碳 14 過少（約 0.2%），無法準確測量，因此恐龍化石不以碳 14 定年，須使用半衰期更長的核種，例如鈾 238（約 45 億年）

活度與劑量的單位：

以下量級供比較：世界平均每年受到的天然背景輻射，UNSCEAR 2008 年的估計約 2.4 毫西弗，2026 年的新評估因資料與方法改進而提高至約 3.0 毫西弗，地區間差異也很大。一次胸部 X 光約 0.1 毫西弗；一次胸部電腦斷層約幾毫西弗（依機型與掃描條件差異很大）。ICRP 建議一般民眾在天然背景與醫療之外的額外劑量，每年不超過 1 毫西弗。

高劑量的傷害很明確。低劑量的健康風險目前仍有不確定性；輻射防護基於保守考量，通常假設風險隨劑量線性增加，這是管理上的假設，不等於已證實低劑量的風險大小，也不等於證實沒有風險。

重點整理

• 結合能由質量差計算：$B = [Z m_{\text{H}} + (A-Z)m_n - M]c^2$，1 u 對應 931.494 MeV
• 每核子結合能在鐵、鎳附近最高（鎳 62 約 8.795 MeV）；分裂和融合都朝此方向進行，因此都釋放能量
• $\alpha$、$\beta$、$\gamma$ 衰變；每個原子核獨立隨機，沒有記憶；$N(t) = N_0(1/2)^{t/T_{1/2}}$，波動約 $1/\sqrt{N_0}$ 的量級
• 碳 14 半衰期約 5700 年，傳統放射性碳年代仍使用 Libby 值，須經校正曲線
• Bq 是活度、Gy 是每公斤吸收的能量、Sv 是加權後的劑量；低劑量風險有不確定性

本課是普通物理學軌的最後一課，內容由單位與向量延伸至原子核。延伸閱讀：讀本的原子核物理與放射性衰變；Uedu Science 有放射性衰變與放射性定年模擬。