Learning Objectives
- 區分函數在一點的值與函數在那裡的極限
- 判斷左極限、右極限，以及它們和極限的關係
- 辨認極限不存在的三種情形：跳躍、無窮大、振盪
- 用無窮遠的極限與無窮極限描述水平漸近線與垂直漸近線
極限的概念
將 $x = 0$ 代入 $f(x) = \frac{\sin x}{x}$，分子分母都是 0，此函數在 0 沒有定義。然而代入 $x = 0.1$ 得到 $0.99833$，代入 $x = 0.01$ 得到 $0.99998$，代入 $x = -0.01$ 也是 $0.99998$。函數在 0 這一點沒有值，鄰近的值卻穩定地趨近 1。
極限（limit）描述的是：$x$ 靠近 $a$ 時（但不等於 $a$），$f(x)$ 趨近於何值。上一課複利的 $e$ 屬於此類問題，之後導數的切線斜率亦然。
下面的數值表起初是空的。按「靠近一步」或拖曳 $x$，每靠近一個距離，對應的列才會填上數字。
函數值與極限的區別
極限記為
$$\lim_{x \to a} f(x) = L$$
意思是：只要 $x$ 夠靠近 $a$（$x \neq a$），$f(x)$ 就可以與 $L$ 任意接近。這個說法尚不精確，下一課將以 $\varepsilon$ 和 $\delta$ 明確定義「夠靠近」與「任意接近」。
定義中最重要的條件是 $x \neq a$。極限只考慮 $a$ 的附近，完全不考慮 $a$ 這一點：
- $f(a)$ 可以沒有定義，極限仍然存在（$\frac{\sin x}{x}$ 在 0）
- $f(a)$ 可以有定義但不等於極限（剛才的 $f(1) = 3$，極限是 2）
- 兩者也可以相等，這種情況稱為連續，於第 5 課說明
因此處理 $\lim_{x \to a} f(x)$ 時，不應直接代入。代入只有在函數連續時才有效，而判斷連續本身須用到極限。
左極限與右極限
校園停車場的收費規定：停放 1 小時以內 20 元，超過 1 小時 40 元。$t$ 從小於 1 靠近 1 時，費用恆為 20；從大於 1 靠近 1 時，費用恆為 40。兩側趨近的值不同。
只從一側靠近，得到的是單側極限：
- 左極限：$\lim_{x \to a^-} f(x)$，$x$ 從小於 $a$ 的那一側靠近
- 右極限：$\lim_{x \to a^+} f(x)$，$x$ 從大於 $a$ 的那一側靠近
單側極限與極限的關係是：
$$\lim_{x \to a} f(x) = L$$
若且唯若
$$\lim_{x \to a^-} f(x) = \lim_{x \to a^+} f(x) = L$$
兩側極限都存在且相等時，極限才存在。
極限不存在的三種情形
極限不存在通常屬於下列三種情況之一：
| 情況 | 例子 | 靠近 $a$ 時的行為 |
|---|---|---|
| 跳躍 | $\frac{\lvert x \rvert}{x}$ 在 0 | 兩側各自靠近不同的數 |
| 無窮大 | $\frac{1}{x^2}$ 在 0 | 函數值沒有界限地變大 |
| 振盪 | $\sin\frac{1}{x}$ 在 0 | 在 $-1$ 和 $1$ 之間來回，且越靠近振盪越快 |
振盪最違反直覺。放大圖形通常會使曲線變平滑，但 $\sin\frac{1}{x}$ 無論放大幾倍，形狀都相似。
由此可知僅憑數值表可能得到錯誤結論。例如 $\sin\frac{\pi}{x}$ 在 $x = 0.1, 0.01, 0.001$ 的值都是 0，看似極限為 0。然而 $x = \frac{2}{1+4k}$（$k$ 是正整數）時函數值都是 1，而這些 $x$ 也可以任意靠近 0，所以極限不存在。數值表提供線索，但不構成證明。
垂直漸近線與水平漸近線
「無窮」在極限中出現於兩個位置，須加以區分。
$f(x)$ 趨向無窮大：$\lim_{x \to 0}\frac{1}{x^2} = \infty$。此等號須謹慎解讀：$\infty$ 不是一個數，這個寫法說明「極限不存在，原因是函數值沒有界限地變大」。只要左極限或右極限是 $\pm\infty$，$x = a$ 為垂直漸近線。$\frac{1}{x}$ 在 0 的左極限是 $-\infty$、右極限是 $\infty$。
$x$ 趨向無窮遠：$\lim_{x \to \infty} f(x) = L$ 描述 $x$ 持續增大時 $f(x)$ 趨近 $L$。若此極限成立（$x \to -\infty$ 亦同），$y = L$ 為水平漸近線。
有兩個常見的誤解：
- 曲線可以穿過水平漸近線。$\frac{\sin x}{x}$ 的水平漸近線是 $y = 0$，曲線穿過它無限多次。漸近線只描述遠處的趨勢
- 兩個方向的結果可以不同。$\arctan x$ 在 $x \to \infty$ 趨向 $\frac{\pi}{2}$，在 $x \to -\infty$ 趨向 $-\frac{\pi}{2}$，所以有兩條水平漸近線
重點整理
- 極限描述 $x$ 靠近 $a$ 時（$x \neq a$）$f(x)$ 趨近的值，與 $f(a)$ 的值無關
- 左右極限都存在且相等，極限才存在
- 極限不存在的三種常見情形：跳躍、無窮大、振盪
- $\lim f(x) = \infty$ 說明的是「不存在的方式」，$\infty$ 不是數
- 垂直漸近線來自 $f(x)$ 趨向無窮大，水平漸近線來自 $x$ 趨向無窮遠；曲線可以穿過水平漸近線
- 數值表提供線索，但不構成證明
下一課介紹極限的計算，以及「夠靠近」的精確定義。更完整的文字說明見優微積分讀本的極限的直觀。
小測驗
$g(x) = x+1$（$x \neq 1$），而且 $g(1) = 5$。$\lim_{x \to 1} g(x)$ 是多少？
已知 $\lim_{x \to 2} f(x) = 7$。下列何者必定正確？
$f(x) = \frac{\lvert x \rvert}{x}$，下列何者正確？
$f(x) = \sin\frac{\pi}{x}$ 在 $x = 0.1$、$0.01$、$0.001$ 的值都是 0。由此可以得到什麼結論？
$\lim_{x \to 0}\frac{1}{x^2} = \infty$ 這個寫法的意思是？
$y = 0$ 是 $f(x) = \frac{\sin x}{x}$ 的水平漸近線。下列何者正確？