極限的計算與 ε-δ 定義

極限運算法則與 0/0 不定型

上一課以數值觀察極限。要實際計算極限，須先確認何時可以直接代入。

極限運算法則：若 $\lim_{x \to a} f(x) = L$、$\lim_{x \to a} g(x) = M$ 都存在，則

• $\lim (f \pm g) = L \pm M$
• $\lim (fg) = LM$
• $\lim \frac{f}{g} = \frac{L}{M}$（$M \neq 0$）

條件不能省略。兩個極限只要有一個不存在，這些等式就不適用；分母的極限是 0 時，商的法則也不適用。

由這些法則可以推出：多項式、以及分母不為 0 的有理函數，都可以直接代入。例如 $\lim_{x \to 2}\frac{x^2+1}{x+3} = \frac{5}{5} = 1$。

然而 $\lim_{x \to 2}\frac{x^2-4}{x-2}$ 代入得到 $\frac{0}{0}$。$\frac{0}{0}$ 不是答案，也不代表極限不存在，僅表示此方法無法得出結果，須再化簡。同樣是 $\frac{0}{0}$ 型，結果可以完全不同：

• $\lim_{x \to 0}\frac{x^2}{x} = 0$
• $\lim_{x \to 0}\frac{x}{x} = 1$
• $\lim_{x \to 0}\frac{x}{x^2}$ 不存在

因此 $\frac{0}{0}$ 稱為不定型（indeterminate form）。

化簡的依據如下：$x \neq 2$ 時，$\frac{x^2-4}{x-2} = \frac{(x-2)(x+2)}{x-2} = x+2$，兩個函數只在 $x = 2$ 這一點不同。極限不考慮這一點，所以

$$\lim_{x \to 2}\frac{x^2-4}{x-2} = \lim_{x \to 2}(x+2) = 4$$

含根號的情況使用有理化：分子分母同乘共軛式，產生平方差，

$$\frac{\sqrt{x+1}-1}{x} = \frac{(\sqrt{x+1}-1)(\sqrt{x+1}+1)}{x(\sqrt{x+1}+1)}$$

分子變成 $(x+1)-1 = x$，所以 $x \neq 0$ 時約分得到

$$\frac{x}{x(\sqrt{x+1}+1)} = \frac{1}{\sqrt{x+1}+1}$$

所以 $x \to 0$ 時的極限是 $\frac{1}{2}$。

夾擠定理

$\lim_{x \to 0}x^2\sin\frac{1}{x}$ 不能以乘積法則拆開：$\lim_{x \to 0}\sin\frac{1}{x}$ 不存在，法則的條件不成立。然而 $\sin$ 的值無論如何振盪都在 $-1$ 和 $1$ 之間，所以

$$-x^2 \le x^2\sin\frac{1}{x} \le x^2 \quad (x \neq 0)$$

上下兩個函數都趨向 0，夾在中間的函數也趨向相同的值。

夾擠定理（squeeze theorem）：若在 $a$ 附近（$x \neq a$）$g(x) \le f(x) \le h(x)$，而且 $\lim_{x \to a} g(x) = \lim_{x \to a} h(x) = L$，則 $\lim_{x \to a} f(x) = L$。

同樣的方法可以處理上一課出現的 $\frac{\sin x}{x}$。在單位圓上取 $0 \lt x \lt \frac{\pi}{2}$，比較三塊面積：

• 內接三角形面積 $\frac{1}{2}\sin x$
• 扇形面積 $\frac{1}{2}x$（此處用到 $x$ 為弧度）
• 外切直角三角形面積 $\frac{1}{2}\tan x$

三塊面積依序包含，所以 $\sin x \lt x \lt \tan x$。除以 $\sin x$（正數）再取倒數，得到

$$\cos x \lt \frac{\sin x}{x} \lt 1$$

$x \to 0^+$ 時 $\cos x \to 1$，所以右極限是 1。$\frac{\sin x}{x}$ 是偶函數，左極限也是 1：

$$\lim_{x \to 0}\frac{\sin x}{x} = 1$$

若 $x$ 以度而非弧度為單位，此極限不是 1 而是 $\frac{\pi}{180}$。這是微積分預設使用弧度的另一個理由，也是之後計算 $\sin x$ 導數的基礎。

有理函數在無窮遠的極限

$x \to \infty$ 時，分子分母各自趨向無窮大，$\frac{\infty}{\infty}$ 同樣是不定型。做法是分子分母同除以分母的最高次方：

$$\frac{3x^2-x}{2x^2+1} = \frac{3-\frac{1}{x}}{2+\frac{1}{x^2}} \to \frac{3}{2}$$

因為 $\frac{1}{x} \to 0$。三種情況由次數決定：

直覺上，$x$ 很大時只有最高次項起主導作用。

極限的 ε-δ 定義

「夠靠近」「任意接近」都不是數學語言。精確的說法可視為挑戰與回應：一方指定 $f(x)$ 與 $L$ 的接近程度（誤差 $\varepsilon$），另一方回答 $x$ 與 $a$ 須接近的程度（距離 $\delta$），以保證誤差要求成立。無論 $\varepsilon$ 指定得多小都能給出回答，極限即為 $L$。

定義：$\lim_{x \to a} f(x) = L$ 表示對每一個 $\varepsilon \gt 0$，都存在 $\delta \gt 0$，使得只要 $0 \lt \lvert x-a \rvert \lt \delta$，就有 $\lvert f(x)-L \rvert \lt \varepsilon$。

逐項說明如下：

• 對每一個 $\varepsilon \gt 0$：$\varepsilon$ 先給定，且可以任意小。只對 $\varepsilon = 0.1$ 成立是不夠的
• 存在 $\delta \gt 0$：$\delta$ 在 $\varepsilon$ 之後選，通常依賴 $\varepsilon$。答案不唯一，一個 $\delta$ 可行，更小的也都可行
• $0 \lt \lvert x-a \rvert$：$x \neq a$。這個「$0 \lt$」是「極限不考慮 $a$ 這一點」的精確表述
• $\lvert x-a \rvert \lt \delta$ 就有 $\lvert f(x)-L \rvert \lt \varepsilon$：垂直帶內的每一個 $x$ 都須滿足，而非僅某些 $x$

以圖形表示：水平帶 $L \pm \varepsilon$ 給定之後，須找到一條垂直帶 $a \pm \delta$，使帶內的曲線（$x = a$ 那一點除外）全部位於水平帶內。

以定義證明極限

線性函數：證明 $\lim_{x \to 1}(2x+1) = 3$。將所需的不等式改寫：

$$\lvert (2x+1)-3 \rvert = 2\lvert x-1 \rvert \lt \varepsilon$$

等價於 $\lvert x-1 \rvert \lt \frac{\varepsilon}{2}$。

因此取 $\delta = \frac{\varepsilon}{2}$ 對每個 $\varepsilon$ 都成立。斜率是 2，輸出的誤差是輸入的 2 倍，故 $\delta$ 為 $\varepsilon$ 的一半。

非線性函數：證明 $\lim_{x \to 2}x^2 = 4$。

$$\lvert x^2-4 \rvert = \lvert x-2 \rvert \cdot \lvert x+2 \rvert$$

$\lvert x+2 \rvert$ 隨 $x$ 變動，但只要 $\lvert x-2 \rvert \lt 1$，就有 $1 \lt x \lt 3$，所以 $\lvert x+2 \rvert \lt 5$。於是取 $\delta = \min(1, \frac{\varepsilon}{5})$，就有 $\lvert x^2-4 \rvert \lt 5 \cdot \frac{\varepsilon}{5} = \varepsilon$。

極限不存在的證明：將定義取否定。「$L$ 不是極限」表示存在某個 $\varepsilon$，使得任何 $\delta$ 都有反例。「極限不存在」則須對每一個 $L$ 都成立。下一個練習實際操作一次。

重點整理

• 極限運算法則要求各別的極限都存在，商的法則還要求分母的極限不是 0
• $\frac{0}{0}$ 是不定型：化簡（因式分解、有理化）後再代入；約分合法是因為極限不考慮 $x = a$
• 夾擠定理適用於無法直接計算但被上下夾住的函數；$\lim_{x \to 0}\frac{\sin x}{x} = 1$ 以弧度為單位才成立
• 有理函數在無窮遠的極限由最高次項決定：分子次數較低時為 0，相同時為係數比，較高時不存在
• $\varepsilon$-$\delta$：對每個 $\varepsilon \gt 0$ 都存在 $\delta \gt 0$，使 $0 \lt \lvert x-a \rvert \lt \delta$ 時 $\lvert f(x)-L \rvert \lt \varepsilon$
• 順序不能換：$\delta$ 依 $\varepsilon$ 而定；$\delta$ 不唯一

下一課以極限定義連續，並討論連續函數的性質。